Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 44985 / 12276
↖ ↑ ↗
← N 74.037681°
E 67.109986°		 ← 167.97 m → N 74.037681°
E 67.115479°		 →
↑
168 m
↓
↑
168 m
↓
N 74.036170°
E 67.109986°		 ← 167.99 m →
28 221 m²		 N 74.036170°
E 67.115479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686424255371094 y=0.187324523925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686424255371094 × 216)
    floor (0.686424255371094 × 65536)
    floor (44985.5)     		tx = 44985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187324523925781 × 216)
    floor (0.187324523925781 × 65536)
    floor (12276.5)     		ty = 12276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 44985 / 12276 ti = "16/44985/12276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/44985/12276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44985 ÷ 216
    44985 ÷ 65536     		x = 0.686416625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12276 ÷ 216
    12276 ÷ 65536     		y = 0.18731689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686416625976562 × 2 - 1) × π
    0.372833251953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17129021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18731689453125 × 2 - 1) × π
    0.6253662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.96464589402838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17129021} λ = 1.17129021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96464589402838))-π/2
    2×atan(7.13238652227754)-π/2
    2×1.43149881642525-π/2
    2.86299763285051-1.57079632675     		φ = 1.29220131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17129021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.109986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29220131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.037681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44985 KachelY 12276 1.17129021 1.29220131 67.109986 74.037681
    Oben rechts KachelX + 1 44986 KachelY 12276 1.17138608 1.29220131 67.115479 74.037681
    Unten links KachelX 44985 KachelY + 1 12277 1.17129021 1.29217494 67.109986 74.036170
    Unten rechts KachelX + 1 44986 KachelY + 1 12277 1.17138608 1.29217494 67.115479 74.036170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29220131-1.29217494) × R
    2.63700000000533e-05 × 6371000     		dl = 168.00327000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29220131-1.29217494) × R
    2.63700000000533e-05 × 6371000     		dr = 168.00327000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17129021-1.17138608) × cos(1.29220131) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275005109498433 × 6371000     		do = 167.96975756915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17129021-1.17138608) × cos(1.29217494) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275030462648518 × 6371000     		du = 167.985242963153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29220131)-sin(1.29217494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275005109498433-0.275030462648518)×R²
    abs(1.17138608-1.17129021)×2.53531500855608e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.53531500855608e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.53531500855608e-05×40589641000000     		ar = 28220.7693328798m²