Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 44982 / 12307
↖ ↑ ↗
← N 73.990784°
E 67.093506°		 ← 168.47 m → N 73.990784°
E 67.098999°		 →
↑
168.45 m
↓
↑
168.45 m
↓
N 73.989269°
E 67.093506°		 ← 168.48 m →
28 380 m²		 N 73.989269°
E 67.098999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686378479003906 y=0.187797546386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686378479003906 × 216)
    floor (0.686378479003906 × 65536)
    floor (44982.5)     		tx = 44982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187797546386719 × 216)
    floor (0.187797546386719 × 65536)
    floor (12307.5)     		ty = 12307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 44982 / 12307 ti = "16/44982/12307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/44982/12307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44982 ÷ 216
    44982 ÷ 65536     		x = 0.686370849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12307 ÷ 216
    12307 ÷ 65536     		y = 0.187789916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686370849609375 × 2 - 1) × π
    0.37274169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17100258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187789916992188 × 2 - 1) × π
    0.624420166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.96167380625194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17100258} λ = 1.17100258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96167380625194))-π/2
    2×atan(7.11121991356825)-π/2
    2×1.43108956236132-π/2
    2.86217912472265-1.57079632675     		φ = 1.29138280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17100258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.093506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29138280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.990784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44982 KachelY 12307 1.17100258 1.29138280 67.093506 73.990784
    Oben rechts KachelX + 1 44983 KachelY 12307 1.17109846 1.29138280 67.098999 73.990784
    Unten links KachelX 44982 KachelY + 1 12308 1.17100258 1.29135636 67.093506 73.989269
    Unten rechts KachelX + 1 44983 KachelY + 1 12308 1.17109846 1.29135636 67.098999 73.989269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29138280-1.29135636) × R
    2.6440000000072e-05 × 6371000     		dl = 168.449240000458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29138280-1.29135636) × R
    2.6440000000072e-05 × 6371000     		dr = 168.449240000458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17100258-1.17109846) × cos(1.29138280) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.275791967806861 × 6371000     		do = 168.467931707213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17100258-1.17109846) × cos(1.29135636) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.275817382297145 × 6371000     		du = 168.483456186217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29138280)-sin(1.29135636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275791967806861-0.275817382297145)×R²
    abs(1.17109846-1.17100258)×2.5414490284259e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.5414490284259e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.5414490284259e-05×40589641000000     		ar = 28379.6026054728m²