Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44981 / 78153
↖ ↑ ↗
← S 32.715666°
W 56.455994°		 ← 256.97 m → S 32.715666°
W 56.453247°		 →
↑
256.94 m
↓
↑
256.94 m
↓
S 32.717977°
W 56.455994°		 ← 256.97 m →
66 027 m²		 S 32.717977°
W 56.453247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343181610107422 y=0.596263885498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343181610107422 × 217)
    floor (0.343181610107422 × 131072)
    floor (44981.5)     		tx = 44981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596263885498047 × 217)
    floor (0.596263885498047 × 131072)
    floor (78153.5)     		ty = 78153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44981 / 78153 ti = "17/44981/78153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44981/78153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44981 ÷ 217
    44981 ÷ 131072     		x = 0.343177795410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78153 ÷ 217
    78153 ÷ 131072     		y = 0.596260070800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343177795410156 × 2 - 1) × π
    -0.313644409179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.98534297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596260070800781 × 2 - 1) × π
    -0.192520141601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.604819862506249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98534297} λ = -0.98534297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.604819862506249))-π/2
    2×atan(0.546172803978784)-π/2
    2×0.499900116831908-π/2
    0.999800233663816-1.57079632675     		φ = -0.57099609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98534297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.455994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57099609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.715666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44981 KachelY 78153 -0.98534297 -0.57099609 -56.455994 -32.715666
    Oben rechts KachelX + 1 44982 KachelY 78153 -0.98529503 -0.57099609 -56.453247 -32.715666
    Unten links KachelX 44981 KachelY + 1 78154 -0.98534297 -0.57103642 -56.455994 -32.717977
    Unten rechts KachelX + 1 44982 KachelY + 1 78154 -0.98529503 -0.57103642 -56.453247 -32.717977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57099609--0.57103642) × R
    4.03300000000328e-05 × 6371000     		dl = 256.942430000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57099609--0.57103642) × R
    4.03300000000328e-05 × 6371000     		dr = 256.942430000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98534297--0.98529503) × cos(-0.57099609) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.841363035498677 × 6371000     		do = 256.973927726256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98534297--0.98529503) × cos(-0.57103642) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.841341237643611 × 6371000     		du = 256.967270100242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57099609)-sin(-0.57103642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841363035498677-0.841341237643611)×R²
    abs(-0.98529503--0.98534297)×2.17978550661746e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.17978550661746e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.17978550661746e-05×40589641000000     		ar = 66026.6501323325m²