Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44980 / 78196
↖ ↑ ↗
← S 32.814979°
W 56.458740°		 ← 256.69 m → S 32.814979°
W 56.455994°		 →
↑
256.62 m
↓
↑
256.62 m
↓
S 32.817286°
W 56.458740°		 ← 256.68 m →
65 871 m²		 S 32.817286°
W 56.455994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343173980712891 y=0.596591949462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343173980712891 × 217)
    floor (0.343173980712891 × 131072)
    floor (44980.5)     		tx = 44980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596591949462891 × 217)
    floor (0.596591949462891 × 131072)
    floor (78196.5)     		ty = 78196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44980 / 78196 ti = "17/44980/78196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44980/78196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44980 ÷ 217
    44980 ÷ 131072     		x = 0.343170166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78196 ÷ 217
    78196 ÷ 131072     		y = 0.596588134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343170166015625 × 2 - 1) × π
    -0.31365966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98539091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.19317626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.606881149189911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98539091} λ = -0.98539091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.606881149189911))-π/2
    2×atan(0.545048144771701)-π/2
    2×0.499033454905631-π/2
    0.998066909811261-1.57079632675     		φ = -0.57272942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98539091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.458740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57272942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.814979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44980 KachelY 78196 -0.98539091 -0.57272942 -56.458740 -32.814979
    Oben rechts KachelX + 1 44981 KachelY 78196 -0.98534297 -0.57272942 -56.455994 -32.814979
    Unten links KachelX 44980 KachelY + 1 78197 -0.98539091 -0.57276970 -56.458740 -32.817286
    Unten rechts KachelX + 1 44981 KachelY + 1 78197 -0.98534297 -0.57276970 -56.455994 -32.817286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57272942--0.57276970) × R
    4.02800000000036e-05 × 6371000     		dl = 256.623880000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57272942--0.57276970) × R
    4.02800000000036e-05 × 6371000     		dr = 256.623880000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98539091--0.98534297) × cos(-0.57272942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.840424958517559 × 6371000     		do = 256.687414869526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98539091--0.98534297) × cos(-0.57276970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.840403128978469 × 6371000     		du = 256.680747566396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57272942)-sin(-0.57276970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.840424958517559-0.840403128978469)×R²
    abs(-0.98534297--0.98539091)×2.18295390895795e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18295390895795e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18295390895795e-05×40589641000000     		ar = 65871.26486537m²