Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 44980 / 12278
↖ ↑ ↗
← N 74.034660°
E 67.082520°		 ← 168 m → N 74.034660°
E 67.088013°		 →
↑
168 m
↓
↑
168 m
↓
N 74.033149°
E 67.082520°		 ← 168.02 m →
28 226 m²		 N 74.033149°
E 67.088013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686347961425781 y=0.187355041503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686347961425781 × 216)
    floor (0.686347961425781 × 65536)
    floor (44980.5)     		tx = 44980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187355041503906 × 216)
    floor (0.187355041503906 × 65536)
    floor (12278.5)     		ty = 12278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 44980 / 12278 ti = "16/44980/12278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/44980/12278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44980 ÷ 216
    44980 ÷ 65536     		x = 0.68634033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12278 ÷ 216
    12278 ÷ 65536     		y = 0.187347412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68634033203125 × 2 - 1) × π
    0.3726806640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17081084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187347412109375 × 2 - 1) × π
    0.62530517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.9644541464299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17081084} λ = 1.17081084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9644541464299))-π/2
    2×atan(7.13101903540082)-π/2
    2×1.43147244820977-π/2
    2.86294489641954-1.57079632675     		φ = 1.29214857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17081084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.082520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29214857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.034660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44980 KachelY 12278 1.17081084 1.29214857 67.082520 74.034660
    Oben rechts KachelX + 1 44981 KachelY 12278 1.17090671 1.29214857 67.088013 74.034660
    Unten links KachelX 44980 KachelY + 1 12279 1.17081084 1.29212220 67.082520 74.033149
    Unten rechts KachelX + 1 44981 KachelY + 1 12279 1.17090671 1.29212220 67.088013 74.033149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29214857-1.29212220) × R
    2.63699999998313e-05 × 6371000     		dl = 168.003269998925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29214857-1.29212220) × R
    2.63699999998313e-05 × 6371000     		dr = 168.003269998925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17081084-1.17090671) × cos(1.29214857) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275055815607354 × 6371000     		do = 168.000728240343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17081084-1.17090671) × cos(1.29212220) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275081168374922 × 6371000     		du = 168.01621340071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29214857)-sin(1.29212220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275055815607354-0.275081168374922)×R²
    abs(1.17090671-1.17081084)×2.53527675680432e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.53527675680432e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.53527675680432e-05×40589641000000     		ar = 28225.9724869987m²