Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4498 / 2479
↖ ↑ ↗
← N 82.047260°
W130.583496°		 ← 169.02 m → N 82.047260°
W130.572510°		 →
↑
169.02 m
↓
↑
169.02 m
↓
N 82.045740°
W130.583496°		 ← 169.05 m →
28 571 m²		 N 82.045740°
W130.572510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137283325195312 y=0.0756683349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137283325195312 × 215)
    floor (0.137283325195312 × 32768)
    floor (4498.5)     		tx = 4498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0756683349609375 × 215)
    floor (0.0756683349609375 × 32768)
    floor (2479.5)     		ty = 2479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4498 / 2479 ti = "15/4498/2479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4498/2479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4498 ÷ 215
    4498 ÷ 32768     		x = 0.13726806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2479 ÷ 215
    2479 ÷ 32768     		y = 0.075653076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13726806640625 × 2 - 1) × π
    -0.7254638671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.27911196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.075653076171875 × 2 - 1) × π
    0.84869384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.66625035686752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27911196} λ = -2.27911196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66625035686752))-π/2
    2×atan(14.3859258464372)-π/2
    2×1.50139558004981-π/2
    3.00279116009962-1.57079632675     		φ = 1.43199483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27911196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.583496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43199483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.047260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4498 KachelY 2479 -2.27911196 1.43199483 -130.583496 82.047260
    Oben rechts KachelX + 1 4499 KachelY 2479 -2.27892021 1.43199483 -130.572510 82.047260
    Unten links KachelX 4498 KachelY + 1 2480 -2.27911196 1.43196830 -130.583496 82.045740
    Unten rechts KachelX + 1 4499 KachelY + 1 2480 -2.27892021 1.43196830 -130.572510 82.045740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43199483-1.43196830) × R
    2.65299999999691e-05 × 6371000     		dl = 169.022629999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43199483-1.43196830) × R
    2.65299999999691e-05 × 6371000     		dr = 169.022629999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27911196--2.27892021) × cos(1.43199483) × R
    0.000191749999999935 × 0.138356237662601 × 6371000     		do = 169.021410410905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27911196--2.27892021) × cos(1.43196830) × R
    0.000191749999999935 × 0.138382512462372 × 6371000     		du = 169.053508737591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43199483)-sin(1.43196830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138356237662601-0.138382512462372)×R²
    abs(-2.27892021--2.27911196)×2.62747997707424e-05×R²
    0.000191749999999935×2.62747997707424e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.62747997707424e-05×40589641000000     		ar = 28571.1559871266m²