Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44977 / 78097
↖ ↑ ↗
← S 32.586163°
W 56.466980°		 ← 257.35 m → S 32.586163°
W 56.464233°		 →
↑
257.39 m
↓
↑
257.39 m
↓
S 32.588478°
W 56.466980°		 ← 257.34 m →
66 237 m²		 S 32.588478°
W 56.464233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343151092529297 y=0.595836639404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343151092529297 × 217)
    floor (0.343151092529297 × 131072)
    floor (44977.5)     		tx = 44977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595836639404297 × 217)
    floor (0.595836639404297 × 131072)
    floor (78097.5)     		ty = 78097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44977 / 78097 ti = "17/44977/78097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44977/78097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44977 ÷ 217
    44977 ÷ 131072     		x = 0.343147277832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78097 ÷ 217
    78097 ÷ 131072     		y = 0.595832824707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343147277832031 × 2 - 1) × π
    -0.313705444335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.98553472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595832824707031 × 2 - 1) × π
    -0.191665649414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.602135396127525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98553472} λ = -0.98553472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.602135396127525))-π/2
    2×atan(0.547640956229046)-π/2
    2×0.501030240894884-π/2
    1.00206048178977-1.57079632675     		φ = -0.56873584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98553472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.466980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56873584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.586163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44977 KachelY 78097 -0.98553472 -0.56873584 -56.466980 -32.586163
    Oben rechts KachelX + 1 44978 KachelY 78097 -0.98548678 -0.56873584 -56.464233 -32.586163
    Unten links KachelX 44977 KachelY + 1 78098 -0.98553472 -0.56877624 -56.466980 -32.588478
    Unten rechts KachelX + 1 44978 KachelY + 1 78098 -0.98548678 -0.56877624 -56.464233 -32.588478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56873584--0.56877624) × R
    4.04000000000515e-05 × 6371000     		dl = 257.388400000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56873584--0.56877624) × R
    4.04000000000515e-05 × 6371000     		dr = 257.388400000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98553472--0.98548678) × cos(-0.56873584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.8425824835102 × 6371000     		do = 257.346378536972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98553472--0.98548678) × cos(-0.56877624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.842560724702851 × 6371000     		du = 257.339732837136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56873584)-sin(-0.56877624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8425824835102-0.842560724702851)×R²
    abs(-0.98548678--0.98553472)×2.17588073484487e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17588073484487e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17588073484487e-05×40589641000000     		ar = 66237.1173633026m²