Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44977 / 78067
↖ ↑ ↗
← S 32.516710°
W 56.466980°		 ← 257.55 m → S 32.516710°
W 56.464233°		 →
↑
257.52 m
↓
↑
257.52 m
↓
S 32.519026°
W 56.466980°		 ← 257.54 m →
66 321 m²		 S 32.519026°
W 56.464233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343151092529297 y=0.595607757568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343151092529297 × 217)
    floor (0.343151092529297 × 131072)
    floor (44977.5)     		tx = 44977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595607757568359 × 217)
    floor (0.595607757568359 × 131072)
    floor (78067.5)     		ty = 78067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44977 / 78067 ti = "17/44977/78067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44977/78067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44977 ÷ 217
    44977 ÷ 131072     		x = 0.343147277832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78067 ÷ 217
    78067 ÷ 131072     		y = 0.595603942871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343147277832031 × 2 - 1) × π
    -0.313705444335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.98553472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595603942871094 × 2 - 1) × π
    -0.191207885742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.600697289138924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98553472} λ = -0.98553472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.600697289138924))-π/2
    2×atan(0.548429089089299)-π/2
    2×0.501636337309423-π/2
    1.00327267461885-1.57079632675     		φ = -0.56752365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98553472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.466980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56752365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.516710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44977 KachelY 78067 -0.98553472 -0.56752365 -56.466980 -32.516710
    Oben rechts KachelX + 1 44978 KachelY 78067 -0.98548678 -0.56752365 -56.464233 -32.516710
    Unten links KachelX 44977 KachelY + 1 78068 -0.98553472 -0.56756407 -56.466980 -32.519026
    Unten rechts KachelX + 1 44978 KachelY + 1 78068 -0.98548678 -0.56756407 -56.464233 -32.519026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56752365--0.56756407) × R
    4.041999999993e-05 × 6371000     		dl = 257.515819999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56752365--0.56756407) × R
    4.041999999993e-05 × 6371000     		dr = 257.515819999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98553472--0.98548678) × cos(-0.56752365) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.843234710223086 × 6371000     		do = 257.545585363403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98553472--0.98548678) × cos(-0.56756407) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.843212981942938 × 6371000     		du = 257.53894898736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56752365)-sin(-0.56756407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.843234710223086-0.843212981942938)×R²
    abs(-0.98548678--0.98553472)×2.17282801471264e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17282801471264e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17282801471264e-05×40589641000000     		ar = 66321.2081252026m²