Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44976 / 78159
↖ ↑ ↗
← S 32.729531°
W 56.469727°		 ← 256.93 m → S 32.729531°
W 56.466980°		 →
↑
256.88 m
↓
↑
256.88 m
↓
S 32.731841°
W 56.469727°		 ← 256.93 m →
66 000 m²		 S 32.731841°
W 56.466980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343143463134766 y=0.596309661865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343143463134766 × 217)
    floor (0.343143463134766 × 131072)
    floor (44976.5)     		tx = 44976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596309661865234 × 217)
    floor (0.596309661865234 × 131072)
    floor (78159.5)     		ty = 78159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44976 / 78159 ti = "17/44976/78159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44976/78159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44976 ÷ 217
    44976 ÷ 131072     		x = 0.3431396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78159 ÷ 217
    78159 ÷ 131072     		y = 0.596305847167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3431396484375 × 2 - 1) × π
    -0.313720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98558266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596305847167969 × 2 - 1) × π
    -0.192611694335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.605107483903969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98558266} λ = -0.98558266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.605107483903969))-π/2
    2×atan(0.546015735582705)-π/2
    2×0.499779129231258-π/2
    0.999558258462517-1.57079632675     		φ = -0.57123807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98558266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.469727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57123807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.729531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44976 KachelY 78159 -0.98558266 -0.57123807 -56.469727 -32.729531
    Oben rechts KachelX + 1 44977 KachelY 78159 -0.98553472 -0.57123807 -56.466980 -32.729531
    Unten links KachelX 44976 KachelY + 1 78160 -0.98558266 -0.57127839 -56.469727 -32.731841
    Unten rechts KachelX + 1 44977 KachelY + 1 78160 -0.98553472 -0.57127839 -56.466980 -32.731841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57123807--0.57127839) × R
    4.03199999999826e-05 × 6371000     		dl = 256.878719999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57123807--0.57127839) × R
    4.03199999999826e-05 × 6371000     		dr = 256.878719999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98558266--0.98553472) × cos(-0.57123807) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.841232227842255 × 6371000     		do = 256.933975700996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98558266--0.98553472) × cos(-0.57127839) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.841210427184105 × 6371000     		du = 256.927317218848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57123807)-sin(-0.57127839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841232227842255-0.841210427184105)×R²
    abs(-0.98553472--0.98558266)×2.18006581494956e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.18006581494956e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.18006581494956e-05×40589641000000     		ar = 66000.015600359m²