Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44975 / 78065
↖ ↑ ↗
← S 32.512078°
W 56.472473°		 ← 257.51 m → S 32.512078°
W 56.469727°		 →
↑
257.52 m
↓
↑
257.52 m
↓
S 32.514394°
W 56.472473°		 ← 257.50 m →
66 311 m²		 S 32.514394°
W 56.469727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343135833740234 y=0.595592498779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343135833740234 × 217)
    floor (0.343135833740234 × 131072)
    floor (44975.5)     		tx = 44975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595592498779297 × 217)
    floor (0.595592498779297 × 131072)
    floor (78065.5)     		ty = 78065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44975 / 78065 ti = "17/44975/78065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44975/78065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44975 ÷ 217
    44975 ÷ 131072     		x = 0.343132019042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78065 ÷ 217
    78065 ÷ 131072     		y = 0.595588684082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343132019042969 × 2 - 1) × π
    -0.313735961914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.98563059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595588684082031 × 2 - 1) × π
    -0.191177368164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.600601415339684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98563059} λ = -0.98563059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.600601415339684))-π/2
    2×atan(0.548481671590285)-π/2
    2×0.501676760408607-π/2
    1.00335352081721-1.57079632675     		φ = -0.56744281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98563059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.472473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56744281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.512078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44975 KachelY 78065 -0.98563059 -0.56744281 -56.472473 -32.512078
    Oben rechts KachelX + 1 44976 KachelY 78065 -0.98558266 -0.56744281 -56.469727 -32.512078
    Unten links KachelX 44975 KachelY + 1 78066 -0.98563059 -0.56748323 -56.472473 -32.514394
    Unten rechts KachelX + 1 44976 KachelY + 1 78066 -0.98558266 -0.56748323 -56.469727 -32.514394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56744281--0.56748323) × R
    4.0420000000041e-05 × 6371000     		dl = 257.515820000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56744281--0.56748323) × R
    4.0420000000041e-05 × 6371000     		dr = 257.515820000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98563059--0.98558266) × cos(-0.56744281) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.843278162650374 × 6371000     		do = 257.505131601149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98563059--0.98558266) × cos(-0.56748323) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.843256437125576 × 6371000     		du = 257.498497450794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56744281)-sin(-0.56748323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.843278162650374-0.843256437125576)×R²
    abs(-0.98558266--0.98563059)×2.17255247978443e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.17255247978443e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.17255247978443e-05×40589641000000     		ar = 66310.7909282415m²