Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44974 / 78094
↖ ↑ ↗
← S 32.579221°
W 56.475220°		 ← 257.37 m → S 32.579221°
W 56.472473°		 →
↑
257.32 m
↓
↑
257.32 m
↓
S 32.581535°
W 56.475220°		 ← 257.36 m →
66 226 m²		 S 32.581535°
W 56.472473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343128204345703 y=0.595813751220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343128204345703 × 217)
    floor (0.343128204345703 × 131072)
    floor (44974.5)     		tx = 44974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595813751220703 × 217)
    floor (0.595813751220703 × 131072)
    floor (78094.5)     		ty = 78094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44974 / 78094 ti = "17/44974/78094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44974/78094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44974 ÷ 217
    44974 ÷ 131072     		x = 0.343124389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78094 ÷ 217
    78094 ÷ 131072     		y = 0.595809936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343124389648438 × 2 - 1) × π
    -0.313751220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98567853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595809936523438 × 2 - 1) × π
    -0.191619873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.601991585428665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98567853} λ = -0.98567853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.601991585428665))-π/2
    2×atan(0.54771971852098)-π/2
    2×0.501090829428756-π/2
    1.00218165885751-1.57079632675     		φ = -0.56861467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98567853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.475220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56861467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.579221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44974 KachelY 78094 -0.98567853 -0.56861467 -56.475220 -32.579221
    Oben rechts KachelX + 1 44975 KachelY 78094 -0.98563059 -0.56861467 -56.472473 -32.579221
    Unten links KachelX 44974 KachelY + 1 78095 -0.98567853 -0.56865506 -56.475220 -32.581535
    Unten rechts KachelX + 1 44975 KachelY + 1 78095 -0.98563059 -0.56865506 -56.472473 -32.581535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56861467--0.56865506) × R
    4.03900000000013e-05 × 6371000     		dl = 257.324690000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56861467--0.56865506) × R
    4.03900000000013e-05 × 6371000     		dr = 257.324690000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98567853--0.98563059) × cos(-0.56861467) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.84264773552677 × 6371000     		do = 257.366308183015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98567853--0.98563059) × cos(-0.56865506) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.842625986229188 × 6371000     		du = 257.359665387707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56861467)-sin(-0.56865506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84264773552677-0.842625986229188)×R²
    abs(-0.98563059--0.98567853)×2.1749297582252e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.1749297582252e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.1749297582252e-05×40589641000000     		ar = 66225.8508011401m²