Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44973 / 78158
↖ ↑ ↗
← S 32.727220°
W 56.477966°		 ← 256.94 m → S 32.727220°
W 56.475220°		 →
↑
256.94 m
↓
↑
256.94 m
↓
S 32.729531°
W 56.477966°		 ← 256.93 m →
66 018 m²		 S 32.729531°
W 56.475220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343120574951172 y=0.596302032470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343120574951172 × 217)
    floor (0.343120574951172 × 131072)
    floor (44973.5)     		tx = 44973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596302032470703 × 217)
    floor (0.596302032470703 × 131072)
    floor (78158.5)     		ty = 78158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44973 / 78158 ti = "17/44973/78158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44973/78158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44973 ÷ 217
    44973 ÷ 131072     		x = 0.343116760253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78158 ÷ 217
    78158 ÷ 131072     		y = 0.596298217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343116760253906 × 2 - 1) × π
    -0.313766479492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.98572647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596298217773438 × 2 - 1) × π
    -0.192596435546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.605059547004349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98572647} λ = -0.98572647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.605059547004349))-π/2
    2×atan(0.54604191051158)-π/2
    2×0.499799292525003-π/2
    0.999598585050007-1.57079632675     		φ = -0.57119774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98572647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.477966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57119774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.727220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44973 KachelY 78158 -0.98572647 -0.57119774 -56.477966 -32.727220
    Oben rechts KachelX + 1 44974 KachelY 78158 -0.98567853 -0.57119774 -56.475220 -32.727220
    Unten links KachelX 44973 KachelY + 1 78159 -0.98572647 -0.57123807 -56.477966 -32.729531
    Unten rechts KachelX + 1 44974 KachelY + 1 78159 -0.98567853 -0.57123807 -56.475220 -32.729531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57119774--0.57123807) × R
    4.03300000000328e-05 × 6371000     		dl = 256.942430000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57119774--0.57123807) × R
    4.03300000000328e-05 × 6371000     		dr = 256.942430000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98572647--0.98567853) × cos(-0.57119774) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841254032539211 × 6371000     		do = 256.940635416104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98572647--0.98567853) × cos(-0.57123807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841232227842255 × 6371000     		du = 256.933975700401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57119774)-sin(-0.57123807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841254032539211-0.841232227842255)×R²
    abs(-0.98567853--0.98572647)×2.18046969565622e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18046969565622e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18046969565622e-05×40589641000000     		ar = 66018.0956568957m²