Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44973 / 78156
↖ ↑ ↗
← S 32.722599°
W 56.477966°		 ← 256.95 m → S 32.722599°
W 56.475220°		 →
↑
256.88 m
↓
↑
256.88 m
↓
S 32.724909°
W 56.477966°		 ← 256.95 m →
66 005 m²		 S 32.724909°
W 56.475220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343120574951172 y=0.596286773681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343120574951172 × 217)
    floor (0.343120574951172 × 131072)
    floor (44973.5)     		tx = 44973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596286773681641 × 217)
    floor (0.596286773681641 × 131072)
    floor (78156.5)     		ty = 78156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44973 / 78156 ti = "17/44973/78156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44973/78156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44973 ÷ 217
    44973 ÷ 131072     		x = 0.343116760253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78156 ÷ 217
    78156 ÷ 131072     		y = 0.596282958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343116760253906 × 2 - 1) × π
    -0.313766479492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.98572647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.19256591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.604963673205109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98572647} λ = -0.98572647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.604963673205109))-π/2
    2×atan(0.546094264133715)-π/2
    2×0.499839620680187-π/2
    0.999679241360374-1.57079632675     		φ = -0.57111709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98572647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.477966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57111709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.722599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44973 KachelY 78156 -0.98572647 -0.57111709 -56.477966 -32.722599
    Oben rechts KachelX + 1 44974 KachelY 78156 -0.98567853 -0.57111709 -56.475220 -32.722599
    Unten links KachelX 44973 KachelY + 1 78157 -0.98572647 -0.57115741 -56.477966 -32.724909
    Unten rechts KachelX + 1 44974 KachelY + 1 78157 -0.98567853 -0.57115741 -56.475220 -32.724909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57111709--0.57115741) × R
    4.03199999999826e-05 × 6371000     		dl = 256.878719999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57111709--0.57115741) × R
    4.03199999999826e-05 × 6371000     		dr = 256.878719999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98572647--0.98567853) × cos(-0.57111709) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841297632422445 × 6371000     		do = 256.953951942705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98572647--0.98567853) × cos(-0.57115741) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841275835867861 × 6371000     		du = 256.947294713891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57111709)-sin(-0.57115741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841297632422445-0.841275835867861)×R²
    abs(-0.98567853--0.98572647)×2.17965545848964e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17965545848964e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17965545848964e-05×40589641000000     		ar = 66005.1472328555m²