Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44972 / 78086
↖ ↑ ↗
← S 32.560703°
W 56.480713°		 ← 257.37 m → S 32.560703°
W 56.477966°		 →
↑
257.39 m
↓
↑
257.39 m
↓
S 32.563018°
W 56.480713°		 ← 257.36 m →
66 242 m²		 S 32.563018°
W 56.477966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343112945556641 y=0.595752716064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343112945556641 × 217)
    floor (0.343112945556641 × 131072)
    floor (44972.5)     		tx = 44972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595752716064453 × 217)
    floor (0.595752716064453 × 131072)
    floor (78086.5)     		ty = 78086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44972 / 78086 ti = "17/44972/78086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44972/78086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44972 ÷ 217
    44972 ÷ 131072     		x = 0.343109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78086 ÷ 217
    78086 ÷ 131072     		y = 0.595748901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343109130859375 × 2 - 1) × π
    -0.31378173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98577440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595748901367188 × 2 - 1) × π
    -0.191497802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.601608090231705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98577440} λ = -0.98577440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.601608090231705))-π/2
    2×atan(0.547929806683639)-π/2
    2×0.50125242178955-π/2
    1.0025048435791-1.57079632675     		φ = -0.56829148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98577440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.480713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56829148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.560703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44972 KachelY 78086 -0.98577440 -0.56829148 -56.480713 -32.560703
    Oben rechts KachelX + 1 44973 KachelY 78086 -0.98572647 -0.56829148 -56.477966 -32.560703
    Unten links KachelX 44972 KachelY + 1 78087 -0.98577440 -0.56833188 -56.480713 -32.563018
    Unten rechts KachelX + 1 44973 KachelY + 1 78087 -0.98572647 -0.56833188 -56.477966 -32.563018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56829148--0.56833188) × R
    4.04000000000515e-05 × 6371000     		dl = 257.388400000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56829148--0.56833188) × R
    4.04000000000515e-05 × 6371000     		dr = 257.388400000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98577440--0.98572647) × cos(-0.56829148) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.842821718090365 × 6371000     		do = 257.365750764319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98577440--0.98572647) × cos(-0.56833188) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.842799974411131 × 6371000     		du = 257.359111070289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56829148)-sin(-0.56833188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842821718090365-0.842799974411131)×R²
    abs(-0.98572647--0.98577440)×2.17436792340209e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.17436792340209e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.17436792340209e-05×40589641000000     		ar = 66242.1043229892m²