Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 44972 / 12281
↖ ↑ ↗
← N 74.030126°
E 67.038574°		 ← 168.05 m → N 74.030126°
E 67.044067°		 →
↑
168.07 m
↓
↑
168.07 m
↓
N 74.028615°
E 67.038574°		 ← 168.06 m →
28 244 m²		 N 74.028615°
E 67.044067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686225891113281 y=0.187400817871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686225891113281 × 216)
    floor (0.686225891113281 × 65536)
    floor (44972.5)     		tx = 44972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187400817871094 × 216)
    floor (0.187400817871094 × 65536)
    floor (12281.5)     		ty = 12281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 44972 / 12281 ti = "16/44972/12281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/44972/12281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44972 ÷ 216
    44972 ÷ 65536     		x = 0.68621826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12281 ÷ 216
    12281 ÷ 65536     		y = 0.187393188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68621826171875 × 2 - 1) × π
    0.3724365234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17004385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187393188476562 × 2 - 1) × π
    0.625213623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.96416652503218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17004385} λ = 1.17004385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96416652503218))-π/2
    2×atan(7.12896829667099)-π/2
    2×1.43143288677103-π/2
    2.86286577354207-1.57079632675     		φ = 1.29206945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17004385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.038574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29206945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.030126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44972 KachelY 12281 1.17004385 1.29206945 67.038574 74.030126
    Oben rechts KachelX + 1 44973 KachelY 12281 1.17013972 1.29206945 67.044067 74.030126
    Unten links KachelX 44972 KachelY + 1 12282 1.17004385 1.29204307 67.038574 74.028615
    Unten rechts KachelX + 1 44973 KachelY + 1 12282 1.17013972 1.29204307 67.044067 74.028615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29206945-1.29204307) × R
    2.63799999999925e-05 × 6371000     		dl = 168.066979999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29206945-1.29204307) × R
    2.63799999999925e-05 × 6371000     		dr = 168.066979999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17004385-1.17013972) × cos(1.29206945) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275131882950251 × 6371000     		do = 168.047189243081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17004385-1.17013972) × cos(1.29204307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275157244757831 × 6371000     		du = 168.062679924976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29206945)-sin(1.29204307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275131882950251-0.275157244757831)×R²
    abs(1.17013972-1.17004385)×2.53618075798379e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.53618075798379e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.53618075798379e-05×40589641000000     		ar = 28244.4853310251m²