Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44971 / 78089
↖ ↑ ↗
← S 32.567648°
W 56.483459°		 ← 257.40 m → S 32.567648°
W 56.480713°		 →
↑
257.32 m
↓
↑
257.32 m
↓
S 32.569962°
W 56.483459°		 ← 257.39 m →
66 234 m²		 S 32.569962°
W 56.480713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343105316162109 y=0.595775604248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343105316162109 × 217)
    floor (0.343105316162109 × 131072)
    floor (44971.5)     		tx = 44971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595775604248047 × 217)
    floor (0.595775604248047 × 131072)
    floor (78089.5)     		ty = 78089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44971 / 78089 ti = "17/44971/78089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44971/78089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44971 ÷ 217
    44971 ÷ 131072     		x = 0.343101501464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78089 ÷ 217
    78089 ÷ 131072     		y = 0.595771789550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343101501464844 × 2 - 1) × π
    -0.313796997070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.98582234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595771789550781 × 2 - 1) × π
    -0.191543579101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.601751900930565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98582234} λ = -0.98582234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.601751900930565))-π/2
    2×atan(0.547851014180952)-π/2
    2×0.501191820744903-π/2
    1.00238364148981-1.57079632675     		φ = -0.56841269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98582234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.483459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56841269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.567648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44971 KachelY 78089 -0.98582234 -0.56841269 -56.483459 -32.567648
    Oben rechts KachelX + 1 44972 KachelY 78089 -0.98577440 -0.56841269 -56.480713 -32.567648
    Unten links KachelX 44971 KachelY + 1 78090 -0.98582234 -0.56845308 -56.483459 -32.569962
    Unten rechts KachelX + 1 44972 KachelY + 1 78090 -0.98577440 -0.56845308 -56.480713 -32.569962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56841269--0.56845308) × R
    4.03900000000013e-05 × 6371000     		dl = 257.324690000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56841269--0.56845308) × R
    4.03900000000013e-05 × 6371000     		dr = 257.324690000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98582234--0.98577440) × cos(-0.56841269) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.842756477542996 × 6371000     		do = 257.399520793194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98582234--0.98577440) × cos(-0.56845308) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.842734735120065 × 6371000     		du = 257.392880097581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56841269)-sin(-0.56845308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842756477542996-0.842734735120065)×R²
    abs(-0.98577440--0.98582234)×2.17424229306262e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17424229306262e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17424229306262e-05×40589641000000     		ar = 66234.3974957817m²