Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4497 / 2480
↖ ↑ ↗
← N 82.045740°
W130.594482°		 ← 169.04 m → N 82.045740°
W130.583496°		 →
↑
169.09 m
↓
↑
169.09 m
↓
N 82.044219°
W130.594482°		 ← 169.08 m →
28 586 m²		 N 82.044219°
W130.583496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137252807617188 y=0.0756988525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137252807617188 × 215)
    floor (0.137252807617188 × 32768)
    floor (4497.5)     		tx = 4497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0756988525390625 × 215)
    floor (0.0756988525390625 × 32768)
    floor (2480.5)     		ty = 2480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4497 / 2480 ti = "15/4497/2480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4497/2480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4497 ÷ 215
    4497 ÷ 32768     		x = 0.137237548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2480 ÷ 215
    2480 ÷ 32768     		y = 0.07568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137237548828125 × 2 - 1) × π
    -0.72552490234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27930370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07568359375 × 2 - 1) × π
    0.8486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.66605860926904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27930370} λ = -2.27930370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66605860926904))-π/2
    2×atan(14.383167644152)-π/2
    2×1.50138231405238-π/2
    3.00276462810476-1.57079632675     		φ = 1.43196830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27930370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.594482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43196830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.045740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4497 KachelY 2480 -2.27930370 1.43196830 -130.594482 82.045740
    Oben rechts KachelX + 1 4498 KachelY 2480 -2.27911196 1.43196830 -130.583496 82.045740
    Unten links KachelX 4497 KachelY + 1 2481 -2.27930370 1.43194176 -130.594482 82.044219
    Unten rechts KachelX + 1 4498 KachelY + 1 2481 -2.27911196 1.43194176 -130.583496 82.044219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43196830-1.43194176) × R
    2.65400000001303e-05 × 6371000     		dl = 169.08634000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43196830-1.43194176) × R
    2.65400000001303e-05 × 6371000     		dr = 169.08634000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27930370--2.27911196) × cos(1.43196830) × R
    0.000191739999999996 × 0.138382512462372 × 6371000     		do = 169.044692387775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27930370--2.27911196) × cos(1.43194176) × R
    0.000191739999999996 × 0.138408797068496 × 6371000     		du = 169.076801019694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43196830)-sin(1.43194176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138382512462372-0.138408797068496)×R²
    abs(-2.27911196--2.27930370)×2.62846061235e-05×R²
    0.000191739999999996×2.62846061235e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.62846061235e-05×40589641000000     		ar = 28585.8628997045m²