Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 44962 / 12292
↖ ↑ ↗
← N 74.013493°
E 66.983643°		 ← 168.22 m → N 74.013493°
E 66.989136°		 →
↑
168.19 m
↓
↑
168.19 m
↓
N 74.011980°
E 66.983643°		 ← 168.23 m →
28 295 m²		 N 74.011980°
E 66.989136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686073303222656 y=0.187568664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686073303222656 × 216)
    floor (0.686073303222656 × 65536)
    floor (44962.5)     		tx = 44962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187568664550781 × 216)
    floor (0.187568664550781 × 65536)
    floor (12292.5)     		ty = 12292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 44962 / 12292 ti = "16/44962/12292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/44962/12292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44962 ÷ 216
    44962 ÷ 65536     		x = 0.686065673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12292 ÷ 216
    12292 ÷ 65536     		y = 0.18756103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686065673828125 × 2 - 1) × π
    0.37213134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.16908511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18756103515625 × 2 - 1) × π
    0.6248779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.96311191324054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16908511} λ = 1.16908511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96311191324054))-π/2
    2×atan(7.12145396569057)-π/2
    2×1.43128773453415-π/2
    2.8625754690683-1.57079632675     		φ = 1.29177914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16908511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.983643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29177914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.013493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44962 KachelY 12292 1.16908511 1.29177914 66.983643 74.013493
    Oben rechts KachelX + 1 44963 KachelY 12292 1.16918098 1.29177914 66.989136 74.013493
    Unten links KachelX 44962 KachelY + 1 12293 1.16908511 1.29175274 66.983643 74.011980
    Unten rechts KachelX + 1 44963 KachelY + 1 12293 1.16918098 1.29175274 66.989136 74.011980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29177914-1.29175274) × R
    2.6400000000093e-05 × 6371000     		dl = 168.194400000593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29177914-1.29175274) × R
    2.6400000000093e-05 × 6371000     		dr = 168.194400000593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16908511-1.16918098) × cos(1.29177914) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275410977271602 × 6371000     		do = 168.217656641239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16908511-1.16918098) × cos(1.29175274) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275436356197339 × 6371000     		du = 168.233157778695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29177914)-sin(1.29175274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275410977271602-0.275436356197339)×R²
    abs(1.16918098-1.16908511)×2.53789257364523e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.53789257364523e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.53789257364523e-05×40589641000000     		ar = 28294.5714322647m²