Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 44961 / 12268
↖ ↑ ↗
← N 74.049762°
E 66.978149°		 ← 167.86 m → N 74.049762°
E 66.983643°		 →
↑
167.81 m
↓
↑
167.81 m
↓
N 74.048252°
E 66.978149°		 ← 167.88 m →
28 171 m²		 N 74.048252°
E 66.983643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686058044433594 y=0.187202453613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686058044433594 × 216)
    floor (0.686058044433594 × 65536)
    floor (44961.5)     		tx = 44961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187202453613281 × 216)
    floor (0.187202453613281 × 65536)
    floor (12268.5)     		ty = 12268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 44961 / 12268 ti = "16/44961/12268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/44961/12268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44961 ÷ 216
    44961 ÷ 65536     		x = 0.686050415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12268 ÷ 216
    12268 ÷ 65536     		y = 0.18719482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686050415039062 × 2 - 1) × π
    0.372100830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.16898923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18719482421875 × 2 - 1) × π
    0.6256103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.9654128844223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16898923} λ = 1.16898923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9654128844223))-π/2
    2×atan(7.13785909266204)-π/2
    2×1.43160424068894-π/2
    2.86320848137788-1.57079632675     		φ = 1.29241215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16898923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.978149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29241215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.049762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44961 KachelY 12268 1.16898923 1.29241215 66.978149 74.049762
    Oben rechts KachelX + 1 44962 KachelY 12268 1.16908511 1.29241215 66.983643 74.049762
    Unten links KachelX 44961 KachelY + 1 12269 1.16898923 1.29238581 66.978149 74.048252
    Unten rechts KachelX + 1 44962 KachelY + 1 12269 1.16908511 1.29238581 66.983643 74.048252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29241215-1.29238581) × R
    2.63400000000136e-05 × 6371000     		dl = 167.812140000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29241215-1.29238581) × R
    2.63400000000136e-05 × 6371000     		dr = 167.812140000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16898923-1.16908511) × cos(1.29241215) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.27480239279496 × 6371000     		do = 167.863448346232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16898923-1.16908511) × cos(1.29238581) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.274827718628735 × 6371000     		du = 167.878918669276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29241215)-sin(1.29238581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.27480239279496-0.274827718628735)×R²
    abs(1.16908511-1.16898923)×2.5325833775347e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.5325833775347e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.5325833775347e-05×40589641000000     		ar = 28170.8225500293m²