Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 44960 / 12307
↖ ↑ ↗
← N 73.990784°
E 66.972656°		 ← 168.45 m → N 73.990784°
E 66.978149°		 →
↑
168.45 m
↓
↑
168.45 m
↓
N 73.989269°
E 66.972656°		 ← 168.47 m →
28 377 m²		 N 73.989269°
E 66.978149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686042785644531 y=0.187797546386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686042785644531 × 216)
    floor (0.686042785644531 × 65536)
    floor (44960.5)     		tx = 44960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187797546386719 × 216)
    floor (0.187797546386719 × 65536)
    floor (12307.5)     		ty = 12307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 44960 / 12307 ti = "16/44960/12307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/44960/12307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44960 ÷ 216
    44960 ÷ 65536     		x = 0.68603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12307 ÷ 216
    12307 ÷ 65536     		y = 0.187789916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.68603515625 × 2 - 1) × π
    0.3720703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.16889336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187789916992188 × 2 - 1) × π
    0.624420166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.96167380625194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16889336} λ = 1.16889336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96167380625194))-π/2
    2×atan(7.11121991356825)-π/2
    2×1.43108956236132-π/2
    2.86217912472265-1.57079632675     		φ = 1.29138280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16889336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.972656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29138280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.990784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44960 KachelY 12307 1.16889336 1.29138280 66.972656 73.990784
    Oben rechts KachelX + 1 44961 KachelY 12307 1.16898923 1.29138280 66.978149 73.990784
    Unten links KachelX 44960 KachelY + 1 12308 1.16889336 1.29135636 66.972656 73.989269
    Unten rechts KachelX + 1 44961 KachelY + 1 12308 1.16898923 1.29135636 66.978149 73.989269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29138280-1.29135636) × R
    2.6440000000072e-05 × 6371000     		dl = 168.449240000458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29138280-1.29135636) × R
    2.6440000000072e-05 × 6371000     		dr = 168.449240000458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16889336-1.16898923) × cos(1.29138280) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275791967806861 × 6371000     		do = 168.450361000661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16889336-1.16898923) × cos(1.29135636) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275817382297145 × 6371000     		du = 168.465883860507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29138280)-sin(1.29135636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275791967806861-0.275817382297145)×R²
    abs(1.16898923-1.16889336)×2.5414490284259e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.5414490284259e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.5414490284259e-05×40589641000000     		ar = 28376.6426969347m²