Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4496 / 5743
↖ ↑ ↗
← N 75.188598°
W130.605469°		 ← 312.30 m → N 75.188598°
W130.594482°		 →
↑
312.37 m
↓
↑
312.37 m
↓
N 75.185789°
W130.605469°		 ← 312.36 m →
97 561 m²		 N 75.185789°
W130.594482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137222290039062 y=0.175277709960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137222290039062 × 215)
    floor (0.137222290039062 × 32768)
    floor (4496.5)     		tx = 4496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.175277709960938 × 215)
    floor (0.175277709960938 × 32768)
    floor (5743.5)     		ty = 5743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4496 / 5743 ti = "15/4496/5743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4496/5743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4496 ÷ 215
    4496 ÷ 32768     		x = 0.13720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5743 ÷ 215
    5743 ÷ 32768     		y = 0.175262451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13720703125 × 2 - 1) × π
    -0.7255859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27949545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.175262451171875 × 2 - 1) × π
    0.64947509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.04038619542807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27949545} λ = -2.27949545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04038619542807))-π/2
    2×atan(7.69357985057981)-π/2
    2×1.441542461481-π/2
    2.88308492296201-1.57079632675     		φ = 1.31228860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27949545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.605469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31228860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.188598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4496 KachelY 5743 -2.27949545 1.31228860 -130.605469 75.188598
    Oben rechts KachelX + 1 4497 KachelY 5743 -2.27930370 1.31228860 -130.594482 75.188598
    Unten links KachelX 4496 KachelY + 1 5744 -2.27949545 1.31223957 -130.605469 75.185789
    Unten rechts KachelX + 1 4497 KachelY + 1 5744 -2.27930370 1.31223957 -130.594482 75.185789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31228860-1.31223957) × R
    4.90300000000055e-05 × 6371000     		dl = 312.370130000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31228860-1.31223957) × R
    4.90300000000055e-05 × 6371000     		dr = 312.370130000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27949545--2.27930370) × cos(1.31228860) × R
    0.000191750000000379 × 0.255638148313713 × 6371000     		do = 312.29759577797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27949545--2.27930370) × cos(1.31223957) × R
    0.000191750000000379 × 0.255685548863883 × 6371000     		du = 312.355502150531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31228860)-sin(1.31223957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.255638148313713-0.255685548863883)×R²
    abs(-2.27930370--2.27949545)×4.74005501709396e-05×R²
    0.000191750000000379×4.74005501709396e-05×6371000²
    0.000191750000000379×4.74005501709396e-05×40589641000000     		ar = 97561.4847222678m²