Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4496 / 13039
↖ ↑ ↗
← S 72.282382°
W 81.210938°		 ← 743.55 m → S 72.282382°
W 81.188965°		 →
↑
743.43 m
↓
↑
743.43 m
↓
S 72.289067°
W 81.210938°		 ← 743.28 m →
552 680 m²		 S 72.289067°
W 81.188965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274444580078125 y=0.795867919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274444580078125 × 214)
    floor (0.274444580078125 × 16384)
    floor (4496.5)     		tx = 4496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795867919921875 × 214)
    floor (0.795867919921875 × 16384)
    floor (13039.5)     		ty = 13039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4496 / 13039 ti = "14/4496/13039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4496/13039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4496 ÷ 214
    4496 ÷ 16384     		x = 0.2744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13039 ÷ 214
    13039 ÷ 16384     		y = 0.79583740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2744140625 × 2 - 1) × π
    -0.451171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41739825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79583740234375 × 2 - 1) × π
    -0.5916748046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.8588012196673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41739825} λ = -1.41739825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8588012196673))-π/2
    2×atan(0.1558593595569)-π/2
    2×0.154615388606622-π/2
    0.309230777213244-1.57079632675     		φ = -1.26156555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41739825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.210938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26156555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.282382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4496 KachelY 13039 -1.41739825 -1.26156555 -81.210938 -72.282382
    Oben rechts KachelX + 1 4497 KachelY 13039 -1.41701475 -1.26156555 -81.188965 -72.282382
    Unten links KachelX 4496 KachelY + 1 13040 -1.41739825 -1.26168224 -81.210938 -72.289067
    Unten rechts KachelX + 1 4497 KachelY + 1 13040 -1.41701475 -1.26168224 -81.188965 -72.289067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26156555--1.26168224) × R
    0.00011669000000003 × 6371000     		dl = 743.431990000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26156555--1.26168224) × R
    0.00011669000000003 × 6371000     		dr = 743.431990000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41739825--1.41701475) × cos(-1.26156555) × R
    0.00038349999999987 × 0.304325989182476 × 6371000     		do = 743.553146360525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41739825--1.41701475) × cos(-1.26168224) × R
    0.00038349999999987 × 0.304214831957139 × 6371000     		du = 743.28155830174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26156555)-sin(-1.26168224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304325989182476-0.304214831957139)×R²
    abs(-1.41701475--1.41739825)×0.000111157225336833×R²
    0.00038349999999987×0.000111157225336833×6371000²
    0.00038349999999987×0.000111157225336833×40589641000000     		ar = 552680.242271103m²