Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 44958 / 12279
↖ ↑ ↗
← N 74.033149°
E 66.961670°		 ← 168.03 m → N 74.033149°
E 66.967163°		 →
↑
168.07 m
↓
↑
168.07 m
↓
N 74.031637°
E 66.961670°		 ← 168.05 m →
28 242 m²		 N 74.031637°
E 66.967163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.686012268066406 y=0.187370300292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.686012268066406 × 216)
    floor (0.686012268066406 × 65536)
    floor (44958.5)     		tx = 44958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187370300292969 × 216)
    floor (0.187370300292969 × 65536)
    floor (12279.5)     		ty = 12279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 44958 / 12279 ti = "16/44958/12279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/44958/12279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44958 ÷ 216
    44958 ÷ 65536     		x = 0.686004638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12279 ÷ 216
    12279 ÷ 65536     		y = 0.187362670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.686004638671875 × 2 - 1) × π
    0.37200927734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.16870161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187362670898438 × 2 - 1) × π
    0.625274658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.96435827263066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.16870161} λ = 1.16870161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96435827263066))-π/2
    2×atan(7.13033539028579)-π/2
    2×1.43145926227903-π/2
    2.86291852455806-1.57079632675     		φ = 1.29212220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.16870161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 66.961670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29212220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.033149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44958 KachelY 12279 1.16870161 1.29212220 66.961670 74.033149
    Oben rechts KachelX + 1 44959 KachelY 12279 1.16879749 1.29212220 66.967163 74.033149
    Unten links KachelX 44958 KachelY + 1 12280 1.16870161 1.29209582 66.961670 74.031637
    Unten rechts KachelX + 1 44959 KachelY + 1 12280 1.16879749 1.29209582 66.967163 74.031637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29212220-1.29209582) × R
    2.63800000002146e-05 × 6371000     		dl = 168.066980001367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29212220-1.29209582) × R
    2.63800000002146e-05 × 6371000     		dr = 168.066980001367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.16870161-1.16879749) × cos(1.29212220) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.275081168374922 × 6371000     		do = 168.03373882184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.16870161-1.16879749) × cos(1.29209582) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.275106530565343 × 6371000     		du = 168.049231353395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29212220)-sin(1.29209582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275081168374922-0.275106530565343)×R²
    abs(1.16879749-1.16870161)×2.5362190420819e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.5362190420819e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.5362190420819e-05×40589641000000     		ar = 28242.2249150046m²