Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44956 / 78092
↖ ↑ ↗
← S 32.574592°
W 56.524658°		 ← 257.33 m → S 32.574592°
W 56.521912°		 →
↑
257.32 m
↓
↑
257.32 m
↓
S 32.576906°
W 56.524658°		 ← 257.32 m →
66 215 m²		 S 32.576906°
W 56.521912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342990875244141 y=0.595798492431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342990875244141 × 217)
    floor (0.342990875244141 × 131072)
    floor (44956.5)     		tx = 44956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595798492431641 × 217)
    floor (0.595798492431641 × 131072)
    floor (78092.5)     		ty = 78092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44956 / 78092 ti = "17/44956/78092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44956/78092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44956 ÷ 217
    44956 ÷ 131072     		x = 0.342987060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78092 ÷ 217
    78092 ÷ 131072     		y = 0.595794677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342987060546875 × 2 - 1) × π
    -0.31402587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98654139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595794677734375 × 2 - 1) × π
    -0.19158935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.601895711629425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98654139} λ = -0.98654139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.601895711629425))-π/2
    2×atan(0.547772233008655)-π/2
    2×0.501131224391358-π/2
    1.00226244878272-1.57079632675     		φ = -0.56853388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98654139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.524658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56853388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.574592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44956 KachelY 78092 -0.98654139 -0.56853388 -56.524658 -32.574592
    Oben rechts KachelX + 1 44957 KachelY 78092 -0.98649346 -0.56853388 -56.521912 -32.574592
    Unten links KachelX 44956 KachelY + 1 78093 -0.98654139 -0.56857427 -56.524658 -32.576906
    Unten rechts KachelX + 1 44957 KachelY + 1 78093 -0.98649346 -0.56857427 -56.521912 -32.576906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56853388--0.56857427) × R
    4.03900000000013e-05 × 6371000     		dl = 257.324690000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56853388--0.56857427) × R
    4.03900000000013e-05 × 6371000     		dr = 257.324690000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98654139--0.98649346) × cos(-0.56853388) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.842691235381905 × 6371000     		do = 257.325906298988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98654139--0.98649346) × cos(-0.56857427) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.842669488834009 × 6371000     		du = 257.319265728977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56853388)-sin(-0.56857427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842691235381905-0.842669488834009)×R²
    abs(-0.98649346--0.98654139)×2.17465478961065e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.17465478961065e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.17465478961065e-05×40589641000000     		ar = 66215.4546848854m²