Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44955 / 78087
↖ ↑ ↗
← S 32.563018°
W 56.527405°		 ← 257.41 m → S 32.563018°
W 56.524658°		 →
↑
257.45 m
↓
↑
257.45 m
↓
S 32.565333°
W 56.527405°		 ← 257.41 m →
66 271 m²		 S 32.565333°
W 56.524658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342983245849609 y=0.595760345458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342983245849609 × 217)
    floor (0.342983245849609 × 131072)
    floor (44955.5)     		tx = 44955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595760345458984 × 217)
    floor (0.595760345458984 × 131072)
    floor (78087.5)     		ty = 78087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44955 / 78087 ti = "17/44955/78087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44955/78087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44955 ÷ 217
    44955 ÷ 131072     		x = 0.342979431152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78087 ÷ 217
    78087 ÷ 131072     		y = 0.595756530761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342979431152344 × 2 - 1) × π
    -0.314041137695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.98658933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.595756530761719 × 2 - 1) × π
    -0.191513061523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.601656027131325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98658933} λ = -0.98658933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.601656027131325))-π/2
    2×atan(0.547903541257044)-π/2
    2×0.501232220920134-π/2
    1.00246444184027-1.57079632675     		φ = -0.56833188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98658933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.527405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56833188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.563018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44955 KachelY 78087 -0.98658933 -0.56833188 -56.527405 -32.563018
    Oben rechts KachelX + 1 44956 KachelY 78087 -0.98654139 -0.56833188 -56.524658 -32.563018
    Unten links KachelX 44955 KachelY + 1 78088 -0.98658933 -0.56837229 -56.527405 -32.565333
    Unten rechts KachelX + 1 44956 KachelY + 1 78088 -0.98654139 -0.56837229 -56.524658 -32.565333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56833188--0.56837229) × R
    4.04099999999907e-05 × 6371000     		dl = 257.452109999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56833188--0.56837229) × R
    4.04099999999907e-05 × 6371000     		dr = 257.452109999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98658933--0.98654139) × cos(-0.56833188) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.842799974411131 × 6371000     		do = 257.412805856928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98658933--0.98654139) × cos(-0.56837229) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.842778223973703 × 6371000     		du = 257.406162713481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56833188)-sin(-0.56837229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.842799974411131-0.842778223973703)×R²
    abs(-0.98654139--0.98658933)×2.17504374279143e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.17504374279143e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.17504374279143e-05×40589641000000     		ar = 66270.6148721142m²