Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44952 / 94774
↖ ↑ ↗
← S 62.336860°
W 56.535644°		 ← 141.80 m → S 62.336860°
W 56.532898°		 →
↑
141.75 m
↓
↑
141.75 m
↓
S 62.338135°
W 56.535644°		 ← 141.79 m →
20 100 m²		 S 62.338135°
W 56.532898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342960357666016 y=0.723072052001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342960357666016 × 217)
    floor (0.342960357666016 × 131072)
    floor (44952.5)     		tx = 44952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723072052001953 × 217)
    floor (0.723072052001953 × 131072)
    floor (94774.5)     		ty = 94774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44952 / 94774 ti = "17/44952/94774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44952/94774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44952 ÷ 217
    44952 ÷ 131072     		x = 0.34295654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94774 ÷ 217
    94774 ÷ 131072     		y = 0.723068237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34295654296875 × 2 - 1) × π
    -0.3140869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98673314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723068237304688 × 2 - 1) × π
    -0.446136474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4015790710912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98673314} λ = -0.98673314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4015790710912))-π/2
    2×atan(0.246207877083421)-π/2
    2×0.241406434073424-π/2
    0.482812868146849-1.57079632675     		φ = -1.08798346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98673314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.535644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08798346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.336860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44952 KachelY 94774 -0.98673314 -1.08798346 -56.535644 -62.336860
    Oben rechts KachelX + 1 44953 KachelY 94774 -0.98668520 -1.08798346 -56.532898 -62.336860
    Unten links KachelX 44952 KachelY + 1 94775 -0.98673314 -1.08800571 -56.535644 -62.338135
    Unten rechts KachelX + 1 44953 KachelY + 1 94775 -0.98668520 -1.08800571 -56.532898 -62.338135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08798346--1.08800571) × R
    2.22500000000014e-05 × 6371000     		dl = 141.754750000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08798346--1.08800571) × R
    2.22500000000014e-05 × 6371000     		dr = 141.754750000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98673314--0.98668520) × cos(-1.08798346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.464272343968931 × 6371000     		do = 141.800724218152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98673314--0.98668520) × cos(-1.08800571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46425263719606 × 6371000     		du = 141.794705262465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08798346)-sin(-1.08800571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464272343968931-0.46425263719606)×R²
    abs(-0.98668520--0.98673314)×1.9706772870276e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9706772870276e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9706772870276e-05×40589641000000     		ar = 20100.4996045064m²