Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44952 / 78201
↖ ↑ ↗
← S 32.826519°
W 56.535644°		 ← 256.65 m → S 32.826519°
W 56.532898°		 →
↑
256.62 m
↓
↑
256.62 m
↓
S 32.828827°
W 56.535644°		 ← 256.65 m →
65 863 m²		 S 32.828827°
W 56.532898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342960357666016 y=0.596630096435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342960357666016 × 217)
    floor (0.342960357666016 × 131072)
    floor (44952.5)     		tx = 44952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596630096435547 × 217)
    floor (0.596630096435547 × 131072)
    floor (78201.5)     		ty = 78201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44952 / 78201 ti = "17/44952/78201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44952/78201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44952 ÷ 217
    44952 ÷ 131072     		x = 0.34295654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78201 ÷ 217
    78201 ÷ 131072     		y = 0.596626281738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34295654296875 × 2 - 1) × π
    -0.3140869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98673314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596626281738281 × 2 - 1) × π
    -0.193252563476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.607120833688011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98673314} λ = -0.98673314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.607120833688011))-π/2
    2×atan(0.544917520835573)-π/2
    2×0.49893274302989-π/2
    0.997865486059781-1.57079632675     		φ = -0.57293084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98673314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.535644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57293084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.826519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44952 KachelY 78201 -0.98673314 -0.57293084 -56.535644 -32.826519
    Oben rechts KachelX + 1 44953 KachelY 78201 -0.98668520 -0.57293084 -56.532898 -32.826519
    Unten links KachelX 44952 KachelY + 1 78202 -0.98673314 -0.57297112 -56.535644 -32.828827
    Unten rechts KachelX + 1 44953 KachelY + 1 78202 -0.98668520 -0.57297112 -56.532898 -32.828827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57293084--0.57297112) × R
    4.02799999998926e-05 × 6371000     		dl = 256.623879999316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57293084--0.57297112) × R
    4.02799999998926e-05 × 6371000     		dr = 256.623879999316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98673314--0.98668520) × cos(-0.57293084) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.840315786345162 × 6371000     		do = 256.654070877985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98673314--0.98668520) × cos(-0.57297112) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.84029394998807 × 6371000     		du = 256.647401492461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57293084)-sin(-0.57297112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.840315786345162-0.84029394998807)×R²
    abs(-0.98668520--0.98673314)×2.18363570918534e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18363570918534e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18363570918534e-05×40589641000000     		ar = 65862.7077335077m²