Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44952 / 78200
↖ ↑ ↗
← S 32.824211°
W 56.535644°		 ← 256.66 m → S 32.824211°
W 56.532898°		 →
↑
256.62 m
↓
↑
256.62 m
↓
S 32.826519°
W 56.535644°		 ← 256.65 m →
65 864 m²		 S 32.826519°
W 56.532898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342960357666016 y=0.596622467041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342960357666016 × 217)
    floor (0.342960357666016 × 131072)
    floor (44952.5)     		tx = 44952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596622467041016 × 217)
    floor (0.596622467041016 × 131072)
    floor (78200.5)     		ty = 78200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44952 / 78200 ti = "17/44952/78200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44952/78200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44952 ÷ 217
    44952 ÷ 131072     		x = 0.34295654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78200 ÷ 217
    78200 ÷ 131072     		y = 0.59661865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34295654296875 × 2 - 1) × π
    -0.3140869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98673314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59661865234375 × 2 - 1) × π
    -0.1932373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.607072896788391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98673314} λ = -0.98673314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.607072896788391))-π/2
    2×atan(0.544943643118176)-π/2
    2×0.498952884358325-π/2
    0.99790576871665-1.57079632675     		φ = -0.57289056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98673314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.535644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57289056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.824211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44952 KachelY 78200 -0.98673314 -0.57289056 -56.535644 -32.824211
    Oben rechts KachelX + 1 44953 KachelY 78200 -0.98668520 -0.57289056 -56.532898 -32.824211
    Unten links KachelX 44952 KachelY + 1 78201 -0.98673314 -0.57293084 -56.535644 -32.826519
    Unten rechts KachelX + 1 44953 KachelY + 1 78201 -0.98668520 -0.57293084 -56.532898 -32.826519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57289056--0.57293084) × R
    4.02800000000036e-05 × 6371000     		dl = 256.623880000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57289056--0.57293084) × R
    4.02800000000036e-05 × 6371000     		dr = 256.623880000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98673314--0.98668520) × cos(-0.57289056) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.84033762133886 × 6371000     		do = 256.660739847093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98673314--0.98668520) × cos(-0.57293084) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.840315786345162 × 6371000     		du = 256.654070877985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57289056)-sin(-0.57293084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84033762133886-0.840315786345162)×R²
    abs(-0.98668520--0.98673314)×2.18349936976781e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18349936976781e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18349936976781e-05×40589641000000     		ar = 65864.4192038648m²