Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4495 / 5745
↖ ↑ ↗
← N 75.182980°
W130.616455°		 ← 312.41 m → N 75.182980°
W130.605469°		 →
↑
312.43 m
↓
↑
312.43 m
↓
N 75.180170°
W130.616455°		 ← 312.47 m →
97 618 m²		 N 75.180170°
W130.605469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137191772460938 y=0.175338745117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137191772460938 × 215)
    floor (0.137191772460938 × 32768)
    floor (4495.5)     		tx = 4495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.175338745117188 × 215)
    floor (0.175338745117188 × 32768)
    floor (5745.5)     		ty = 5745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4495 / 5745 ti = "15/4495/5745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4495/5745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4495 ÷ 215
    4495 ÷ 32768     		x = 0.137176513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5745 ÷ 215
    5745 ÷ 32768     		y = 0.175323486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137176513671875 × 2 - 1) × π
    -0.72564697265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27968720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.175323486328125 × 2 - 1) × π
    0.64935302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.04000270023111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27968720} λ = -2.27968720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.04000270023111))-π/2
    2×atan(7.69062996532925)-π/2
    2×1.44149343439145-π/2
    2.88298686878291-1.57079632675     		φ = 1.31219054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27968720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.616455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31219054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.182980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4495 KachelY 5745 -2.27968720 1.31219054 -130.616455 75.182980
    Oben rechts KachelX + 1 4496 KachelY 5745 -2.27949545 1.31219054 -130.605469 75.182980
    Unten links KachelX 4495 KachelY + 1 5746 -2.27968720 1.31214150 -130.616455 75.180170
    Unten rechts KachelX + 1 4496 KachelY + 1 5746 -2.27949545 1.31214150 -130.605469 75.180170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31219054-1.31214150) × R
    4.90399999999447e-05 × 6371000     		dl = 312.433839999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31219054-1.31214150) × R
    4.90399999999447e-05 × 6371000     		dr = 312.433839999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27968720--2.27949545) × cos(1.31219054) × R
    0.000191749999999935 × 0.255732948799401 × 6371000     		do = 312.413407771483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27968720--2.27949545) × cos(1.31214150) × R
    0.000191749999999935 × 0.255780357787502 × 6371000     		du = 312.471324452149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31219054)-sin(1.31214150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.255732948799401-0.255780357787502)×R²
    abs(-2.27949545--2.27968720)×4.74089881002393e-05×R²
    0.000191749999999935×4.74089881002393e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.74089881002393e-05×40589641000000     		ar = 97617.5682424176m²