Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4495 / 3479
↖ ↑ ↗
← N 80.373544°
W130.616455°		 ← 204.29 m → N 80.373544°
W130.605469°		 →
↑
204.32 m
↓
↑
204.32 m
↓
N 80.371707°
W130.616455°		 ← 204.33 m →
41 744 m²		 N 80.371707°
W130.605469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.137191772460938 y=0.106185913085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.137191772460938 × 215)
    floor (0.137191772460938 × 32768)
    floor (4495.5)     		tx = 4495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106185913085938 × 215)
    floor (0.106185913085938 × 32768)
    floor (3479.5)     		ty = 3479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4495 / 3479 ti = "15/4495/3479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4495/3479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4495 ÷ 215
    4495 ÷ 32768     		x = 0.137176513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3479 ÷ 215
    3479 ÷ 32768     		y = 0.106170654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137176513671875 × 2 - 1) × π
    -0.72564697265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27968720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106170654296875 × 2 - 1) × π
    0.78765869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4745027583873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27968720} λ = -2.27968720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4745027583873))-π/2
    2×atan(11.8758005025208)-π/2
    2×1.48678965133159-π/2
    2.97357930266317-1.57079632675     		φ = 1.40278298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27968720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.616455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40278298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.373544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4495 KachelY 3479 -2.27968720 1.40278298 -130.616455 80.373544
    Oben rechts KachelX + 1 4496 KachelY 3479 -2.27949545 1.40278298 -130.605469 80.373544
    Unten links KachelX 4495 KachelY + 1 3480 -2.27968720 1.40275091 -130.616455 80.371707
    Unten rechts KachelX + 1 4496 KachelY + 1 3480 -2.27949545 1.40275091 -130.605469 80.371707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40278298-1.40275091) × R
    3.20700000000507e-05 × 6371000     		dl = 204.317970000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40278298-1.40275091) × R
    3.20700000000507e-05 × 6371000     		dr = 204.317970000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27968720--2.27949545) × cos(1.40278298) × R
    0.000191749999999935 × 0.16722400135532 × 6371000     		do = 204.287403597643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27968720--2.27949545) × cos(1.40275091) × R
    0.000191749999999935 × 0.167255619689355 × 6371000     		du = 204.32602979552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40278298)-sin(1.40275091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16722400135532-0.167255619689355)×R²
    abs(-2.27949545--2.27968720)×3.16183340346443e-05×R²
    0.000191749999999935×3.16183340346443e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.16183340346443e-05×40589641000000     		ar = 41743.5336161258m²