Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4495 / 13040
↖ ↑ ↗
← S 72.289067°
W 81.232910°		 ← 743.26 m → S 72.289067°
W 81.210938°		 →
↑
743.11 m
↓
↑
743.11 m
↓
S 72.295750°
W 81.232910°		 ← 742.99 m →
552 227 m²		 S 72.295750°
W 81.210938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274383544921875 y=0.795928955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274383544921875 × 214)
    floor (0.274383544921875 × 16384)
    floor (4495.5)     		tx = 4495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.795928955078125 × 214)
    floor (0.795928955078125 × 16384)
    floor (13040.5)     		ty = 13040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4495 / 13040 ti = "14/4495/13040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4495/13040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4495 ÷ 214
    4495 ÷ 16384     		x = 0.27435302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13040 ÷ 214
    13040 ÷ 16384     		y = 0.7958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.4512939453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.41778174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7958984375 × 2 - 1) × π
    -0.591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.85918471486426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41778174} λ = -1.41778174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.85918471486426))-π/2
    2×atan(0.15579959970065)-π/2
    2×0.15455704548627-π/2
    0.30911409097254-1.57079632675     		φ = -1.26168224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41778174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.232910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26168224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.289067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4495 KachelY 13040 -1.41778174 -1.26168224 -81.232910 -72.289067
    Oben rechts KachelX + 1 4496 KachelY 13040 -1.41739825 -1.26168224 -81.210938 -72.289067
    Unten links KachelX 4495 KachelY + 1 13041 -1.41778174 -1.26179888 -81.232910 -72.295750
    Unten rechts KachelX + 1 4496 KachelY + 1 13041 -1.41739825 -1.26179888 -81.210938 -72.295750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26168224--1.26179888) × R
    0.00011663999999989 × 6371000     		dl = 743.1134399993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26168224--1.26179888) × R
    0.00011663999999989 × 6371000     		dr = 743.1134399993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41778174--1.41739825) × cos(-1.26168224) × R
    0.000383489999999931 × 0.304214831957139 × 6371000     		do = 743.262176774914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41778174--1.41739825) × cos(-1.26179888) × R
    0.000383489999999931 × 0.304103718221391 × 6371000     		du = 742.990702052361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26168224)-sin(-1.26179888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304214831957139-0.304103718221391)×R²
    abs(-1.41739825--1.41778174)×0.000111113735748236×R²
    0.000383489999999931×0.000111113735748236×6371000²
    0.000383489999999931×0.000111113735748236×40589641000000     		ar = 552227.245373994m²