Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44949 / 78202
↖ ↑ ↗
← S 32.828827°
W 56.543884°		 ← 256.59 m → S 32.828827°
W 56.541138°		 →
↑
256.62 m
↓
↑
256.62 m
↓
S 32.831135°
W 56.543884°		 ← 256.59 m →
65 847 m²		 S 32.831135°
W 56.541138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342937469482422 y=0.596637725830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342937469482422 × 217)
    floor (0.342937469482422 × 131072)
    floor (44949.5)     		tx = 44949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596637725830078 × 217)
    floor (0.596637725830078 × 131072)
    floor (78202.5)     		ty = 78202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44949 / 78202 ti = "17/44949/78202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44949/78202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44949 ÷ 217
    44949 ÷ 131072     		x = 0.342933654785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78202 ÷ 217
    78202 ÷ 131072     		y = 0.596633911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342933654785156 × 2 - 1) × π
    -0.314132690429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.98687695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596633911132812 × 2 - 1) × π
    -0.193267822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.607168770587631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98687695} λ = -0.98687695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.607168770587631))-π/2
    2×atan(0.544891399805161)-π/2
    2×0.498912602224851-π/2
    0.997825204449702-1.57079632675     		φ = -0.57297112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98687695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.543884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57297112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.828827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44949 KachelY 78202 -0.98687695 -0.57297112 -56.543884 -32.828827
    Oben rechts KachelX + 1 44950 KachelY 78202 -0.98682902 -0.57297112 -56.541138 -32.828827
    Unten links KachelX 44949 KachelY + 1 78203 -0.98687695 -0.57301140 -56.543884 -32.831135
    Unten rechts KachelX + 1 44950 KachelY + 1 78203 -0.98682902 -0.57301140 -56.541138 -32.831135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57297112--0.57301140) × R
    4.02800000000036e-05 × 6371000     		dl = 256.623880000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57297112--0.57301140) × R
    4.02800000000036e-05 × 6371000     		dr = 256.623880000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98687695--0.98682902) × cos(-0.57297112) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.84029394998807 × 6371000     		do = 256.593866365233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98687695--0.98682902) × cos(-0.57301140) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.840272112267619 × 6371000     		du = 256.587197954585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57297112)-sin(-0.57301140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84029394998807-0.840272112267619)×R²
    abs(-0.98682902--0.98687695)×2.18377204506126e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.18377204506126e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.18377204506126e-05×40589641000000     		ar = 65847.25794288m²