Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44945 / 94786
↖ ↑ ↗
← S 62.352158°
W 56.554871°		 ← 141.73 m → S 62.352158°
W 56.552124°		 →
↑
141.69 m
↓
↑
141.69 m
↓
S 62.353433°
W 56.554871°		 ← 141.72 m →
20 081 m²		 S 62.353433°
W 56.552124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342906951904297 y=0.723163604736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342906951904297 × 217)
    floor (0.342906951904297 × 131072)
    floor (44945.5)     		tx = 44945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723163604736328 × 217)
    floor (0.723163604736328 × 131072)
    floor (94786.5)     		ty = 94786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44945 / 94786 ti = "17/44945/94786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44945/94786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44945 ÷ 217
    44945 ÷ 131072     		x = 0.342903137207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94786 ÷ 217
    94786 ÷ 131072     		y = 0.723159790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342903137207031 × 2 - 1) × π
    -0.314193725585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.98706870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723159790039062 × 2 - 1) × π
    -0.446319580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.40215431388664
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98706870} λ = -0.98706870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40215431388664))-π/2
    2×atan(0.246066288503757)-π/2
    2×0.241272933425563-π/2
    0.482545866851127-1.57079632675     		φ = -1.08825046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98706870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.554871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08825046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.352158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44945 KachelY 94786 -0.98706870 -1.08825046 -56.554871 -62.352158
    Oben rechts KachelX + 1 44946 KachelY 94786 -0.98702076 -1.08825046 -56.552124 -62.352158
    Unten links KachelX 44945 KachelY + 1 94787 -0.98706870 -1.08827270 -56.554871 -62.353433
    Unten rechts KachelX + 1 44946 KachelY + 1 94787 -0.98702076 -1.08827270 -56.552124 -62.353433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08825046--1.08827270) × R
    2.22400000000622e-05 × 6371000     		dl = 141.691040000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08825046--1.08827270) × R
    2.22400000000622e-05 × 6371000     		dr = 141.691040000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98706870--0.98702076) × cos(-1.08825046) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.464035847527585 × 6371000     		do = 141.728492117547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98706870--0.98702076) × cos(-1.08827270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.464016146855617 × 6371000     		du = 141.722475025232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08825046)-sin(-1.08827270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464035847527585-0.464016146855617)×R²
    abs(-0.98702076--0.98706870)×1.97006719678816e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97006719678816e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97006719678816e-05×40589641000000     		ar = 20081.2311626573m²