Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 44944 / 95120
↖ ↑ ↗
← S 62.774837°
W 56.557617°		 ← 139.73 m → S 62.774837°
W 56.554871°		 →
↑
139.72 m
↓
↑
139.72 m
↓
S 62.776094°
W 56.557617°		 ← 139.72 m →
19 522 m²		 S 62.776094°
W 56.554871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342899322509766 y=0.725711822509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342899322509766 × 217)
    floor (0.342899322509766 × 131072)
    floor (44944.5)     		tx = 44944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725711822509766 × 217)
    floor (0.725711822509766 × 131072)
    floor (95120.5)     		ty = 95120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44944 / 95120 ti = "17/44944/95120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44944/95120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44944 ÷ 217
    44944 ÷ 131072     		x = 0.3428955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95120 ÷ 217
    95120 ÷ 131072     		y = 0.7257080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3428955078125 × 2 - 1) × π
    -0.314208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98711664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7257080078125 × 2 - 1) × π
    -0.451416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41816523835974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98711664} λ = -0.98711664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41816523835974))-π/2
    2×atan(0.242157911599112)-π/2
    2×0.237584364621225-π/2
    0.475168729242451-1.57079632675     		φ = -1.09562760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98711664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.557617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09562760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.774837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44944 KachelY 95120 -0.98711664 -1.09562760 -56.557617 -62.774837
    Oben rechts KachelX + 1 44945 KachelY 95120 -0.98706870 -1.09562760 -56.554871 -62.774837
    Unten links KachelX 44944 KachelY + 1 95121 -0.98711664 -1.09564953 -56.557617 -62.776094
    Unten rechts KachelX + 1 44945 KachelY + 1 95121 -0.98706870 -1.09564953 -56.554871 -62.776094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09562760--1.09564953) × R
    2.19299999999478e-05 × 6371000     		dl = 139.716029999668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09562760--1.09564953) × R
    2.19299999999478e-05 × 6371000     		dr = 139.716029999668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98711664--0.98706870) × cos(-1.09562760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.457488488178965 × 6371000     		do = 139.72876004345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98711664--0.98706870) × cos(-1.09564953) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.457468987572084 × 6371000     		du = 139.722804056163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09562760)-sin(-1.09564953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457488488178965-0.457468987572084)×R²
    abs(-0.98706870--0.98711664)×1.9500606880829e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9500606880829e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9500606880829e-05×40589641000000     		ar = 19521.9315574067m²