Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44944 / 94784
↖ ↑ ↗
← S 62.349609°
W 56.557617°		 ← 141.74 m → S 62.349609°
W 56.554871°		 →
↑
141.69 m
↓
↑
141.69 m
↓
S 62.350884°
W 56.557617°		 ← 141.73 m →
20 083 m²		 S 62.350884°
W 56.554871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342899322509766 y=0.723148345947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342899322509766 × 217)
    floor (0.342899322509766 × 131072)
    floor (44944.5)     		tx = 44944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723148345947266 × 217)
    floor (0.723148345947266 × 131072)
    floor (94784.5)     		ty = 94784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44944 / 94784 ti = "17/44944/94784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44944/94784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44944 ÷ 217
    44944 ÷ 131072     		x = 0.3428955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94784 ÷ 217
    94784 ÷ 131072     		y = 0.72314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3428955078125 × 2 - 1) × π
    -0.314208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98711664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72314453125 × 2 - 1) × π
    -0.4462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4020584400874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98711664} λ = -0.98711664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4020584400874))-π/2
    2×atan(0.246089880944632)-π/2
    2×0.24129517881-π/2
    0.482590357620001-1.57079632675     		φ = -1.08820597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98711664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.557617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08820597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.349609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44944 KachelY 94784 -0.98711664 -1.08820597 -56.557617 -62.349609
    Oben rechts KachelX + 1 44945 KachelY 94784 -0.98706870 -1.08820597 -56.554871 -62.349609
    Unten links KachelX 44944 KachelY + 1 94785 -0.98711664 -1.08822821 -56.557617 -62.350884
    Unten rechts KachelX + 1 44945 KachelY + 1 94785 -0.98706870 -1.08822821 -56.554871 -62.350884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08820597--1.08822821) × R
    2.22400000000622e-05 × 6371000     		dl = 141.691040000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08820597--1.08822821) × R
    2.22400000000622e-05 × 6371000     		dr = 141.691040000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98711664--0.98706870) × cos(-1.08820597) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.464075257040907 × 6371000     		do = 141.740528797316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98711664--0.98706870) × cos(-1.08822821) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.464055556828093 × 6371000     		du = 141.734511845239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08820597)-sin(-1.08822821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464075257040907-0.464055556828093)×R²
    abs(-0.98706870--0.98711664)×1.97002128142776e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97002128142776e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97002128142776e-05×40589641000000     		ar = 20082.9366620319m²