Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44940 / 94764
↖ ↑ ↗
← S 62.324106°
W 56.568603°		 ← 141.83 m → S 62.324106°
W 56.565857°		 →
↑
141.88 m
↓
↑
141.88 m
↓
S 62.325382°
W 56.568603°		 ← 141.83 m →
20 123 m²		 S 62.325382°
W 56.565857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342868804931641 y=0.722995758056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342868804931641 × 217)
    floor (0.342868804931641 × 131072)
    floor (44940.5)     		tx = 44940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722995758056641 × 217)
    floor (0.722995758056641 × 131072)
    floor (94764.5)     		ty = 94764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44940 / 94764 ti = "17/44940/94764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44940/94764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44940 ÷ 217
    44940 ÷ 131072     		x = 0.342864990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94764 ÷ 217
    94764 ÷ 131072     		y = 0.722991943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342864990234375 × 2 - 1) × π
    -0.31427001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98730838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722991943359375 × 2 - 1) × π
    -0.44598388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.401099702095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98730838} λ = -0.98730838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.401099702095))-π/2
    2×atan(0.24632592979946)-π/2
    2×0.241517736582916-π/2
    0.483035473165831-1.57079632675     		φ = -1.08776085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98730838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.568603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08776085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.324106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44940 KachelY 94764 -0.98730838 -1.08776085 -56.568603 -62.324106
    Oben rechts KachelX + 1 44941 KachelY 94764 -0.98726045 -1.08776085 -56.565857 -62.324106
    Unten links KachelX 44940 KachelY + 1 94765 -0.98730838 -1.08778312 -56.568603 -62.325382
    Unten rechts KachelX + 1 44941 KachelY + 1 94765 -0.98726045 -1.08778312 -56.565857 -62.325382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08776085--1.08778312) × R
    2.22700000001019e-05 × 6371000     		dl = 141.882170000649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08776085--1.08778312) × R
    2.22700000001019e-05 × 6371000     		dr = 141.882170000649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98730838--0.98726045) × cos(-1.08776085) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.464469496469419 × 6371000     		do = 141.831348315066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98730838--0.98726045) × cos(-1.08778312) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.464449774284574 × 6371000     		du = 141.825325908666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08776085)-sin(-1.08778312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464469496469419-0.464449774284574)×R²
    abs(-0.98726045--0.98730838)×1.97221848454721e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97221848454721e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97221848454721e-05×40589641000000     		ar = 20122.9122378329m²