Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4494 / 4914
↖ ↑ ↗
← S 33.797409°
E 17.490235°		 ← 4 060.72 m → S 33.797409°
E 17.534180°		 →
↑
4 059.86 m
↓
↑
4 059.86 m
↓
S 33.833920°
E 17.490235°		 ← 4 058.99 m →
16 482 433 m²		 S 33.833920°
E 17.534180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54864501953125 y=0.59991455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54864501953125 × 213)
    floor (0.54864501953125 × 8192)
    floor (4494.5)     		tx = 4494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59991455078125 × 213)
    floor (0.59991455078125 × 8192)
    floor (4914.5)     		ty = 4914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4494 / 4914 ti = "13/4494/4914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4494/4914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4494 ÷ 213
    4494 ÷ 8192     		x = 0.548583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4914 ÷ 213
    4914 ÷ 8192     		y = 0.599853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.548583984375 × 2 - 1) × π
    0.09716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.30526218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599853515625 × 2 - 1) × π
    -0.19970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.627398142227295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.30526218} λ = 0.30526218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.627398142227295))-π/2
    2×atan(0.533979333422265)-π/2
    2×0.49046013258663-π/2
    0.98092026517326-1.57079632675     		φ = -0.58987606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.30526218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.490235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58987606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.797409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4494 KachelY 4914 0.30526218 -0.58987606 17.490235 -33.797409
    Oben rechts KachelX + 1 4495 KachelY 4914 0.30602917 -0.58987606 17.534180 -33.797409
    Unten links KachelX 4494 KachelY + 1 4915 0.30526218 -0.59051330 17.490235 -33.833920
    Unten rechts KachelX + 1 4495 KachelY + 1 4915 0.30602917 -0.59051330 17.534180 -33.833920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58987606--0.59051330) × R
    0.000637239999999983 × 6371000     		dl = 4059.85603999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58987606--0.59051330) × R
    0.000637239999999983 × 6371000     		dr = 4059.85603999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.30526218-0.30602917) × cos(-0.58987606) × R
    0.000766990000000023 × 0.831009628103076 × 6371000     		do = 4060.7229716512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.30526218-0.30602917) × cos(-0.59051330) × R
    0.000766990000000023 × 0.830654989532812 × 6371000     		du = 4058.99003265723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58987606)-sin(-0.59051330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831009628103076-0.830654989532812)×R²
    abs(0.30602917-0.30526218)×0.000354638570263077×R²
    0.000766990000000023×0.000354638570263077×6371000²
    0.000766990000000023×0.000354638570263077×40589641000000     		ar = 16482433.499562m²