Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4494 / 13103
↖ ↑ ↗
← S 72.705372°
W 81.254883°		 ← 726.35 m → S 72.705372°
W 81.232910°		 →
↑
726.17 m
↓
↑
726.17 m
↓
S 72.711903°
W 81.254883°		 ← 726.09 m →
527 355 m²		 S 72.711903°
W 81.232910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274322509765625 y=0.799774169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274322509765625 × 214)
    floor (0.274322509765625 × 16384)
    floor (4494.5)     		tx = 4494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799774169921875 × 214)
    floor (0.799774169921875 × 16384)
    floor (13103.5)     		ty = 13103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4494 / 13103 ti = "14/4494/13103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4494/13103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4494 ÷ 214
    4494 ÷ 16384     		x = 0.2742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13103 ÷ 214
    13103 ÷ 16384     		y = 0.79974365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.451416015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41816524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79974365234375 × 2 - 1) × π
    -0.5994873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88334491227277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41816524} λ = -1.41816524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88334491227277))-π/2
    2×atan(0.152080557910944)-π/2
    2×0.150924099409716-π/2
    0.301848198819433-1.57079632675     		φ = -1.26894813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41816524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.254883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26894813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.705372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4494 KachelY 13103 -1.41816524 -1.26894813 -81.254883 -72.705372
    Oben rechts KachelX + 1 4495 KachelY 13103 -1.41778174 -1.26894813 -81.232910 -72.705372
    Unten links KachelX 4494 KachelY + 1 13104 -1.41816524 -1.26906211 -81.254883 -72.711903
    Unten rechts KachelX + 1 4495 KachelY + 1 13104 -1.41778174 -1.26906211 -81.232910 -72.711903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26894813--1.26906211) × R
    0.000113979999999847 × 6371000     		dl = 726.166579999025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26894813--1.26906211) × R
    0.000113979999999847 × 6371000     		dr = 726.166579999025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41816524--1.41778174) × cos(-1.26894813) × R
    0.000383500000000092 × 0.29728535076994 × 6371000     		do = 726.350905901327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41816524--1.41778174) × cos(-1.26906211) × R
    0.000383500000000092 × 0.29717652202554 × 6371000     		du = 726.085006969953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26894813)-sin(-1.26906211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29728535076994-0.29717652202554)×R²
    abs(-1.41778174--1.41816524)×0.000108828744399769×R²
    0.000383500000000092×0.000108828744399769×6371000²
    0.000383500000000092×0.000108828744399769×40589641000000     		ar = 527355.210330277m²