Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44937 / 78184
↖ ↑ ↗
← S 32.787274°
W 56.576844°		 ← 256.77 m → S 32.787274°
W 56.574097°		 →
↑
256.75 m
↓
↑
256.75 m
↓
S 32.789583°
W 56.576844°		 ← 256.76 m →
65 925 m²		 S 32.789583°
W 56.574097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342845916748047 y=0.596500396728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342845916748047 × 217)
    floor (0.342845916748047 × 131072)
    floor (44937.5)     		tx = 44937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596500396728516 × 217)
    floor (0.596500396728516 × 131072)
    floor (78184.5)     		ty = 78184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44937 / 78184 ti = "17/44937/78184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44937/78184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44937 ÷ 217
    44937 ÷ 131072     		x = 0.342842102050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78184 ÷ 217
    78184 ÷ 131072     		y = 0.59649658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342842102050781 × 2 - 1) × π
    -0.314315795898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.98745220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59649658203125 × 2 - 1) × π
    -0.1929931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.60630590639447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98745220} λ = -0.98745220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.60630590639447))-π/2
    2×atan(0.545361769986824)-π/2
    2×0.499275216779413-π/2
    0.998550433558825-1.57079632675     		φ = -0.57224589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98745220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.576844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57224589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.787274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44937 KachelY 78184 -0.98745220 -0.57224589 -56.576844 -32.787274
    Oben rechts KachelX + 1 44938 KachelY 78184 -0.98740426 -0.57224589 -56.574097 -32.787274
    Unten links KachelX 44937 KachelY + 1 78185 -0.98745220 -0.57228619 -56.576844 -32.789583
    Unten rechts KachelX + 1 44938 KachelY + 1 78185 -0.98740426 -0.57228619 -56.574097 -32.789583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57224589--0.57228619) × R
    4.02999999999931e-05 × 6371000     		dl = 256.751299999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57224589--0.57228619) × R
    4.02999999999931e-05 × 6371000     		dr = 256.751299999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98745220--0.98740426) × cos(-0.57224589) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.840686898676609 × 6371000     		do = 256.76741813644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98745220--0.98740426) × cos(-0.57228619) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.840665074677362 × 6371000     		du = 256.76075252532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57224589)-sin(-0.57228619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.840686898676609-0.840665074677362)×R²
    abs(-0.98740426--0.98745220)×2.18239992474389e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18239992474389e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18239992474389e-05×40589641000000     		ar = 65924.5127108229m²