Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44936 / 78182
↖ ↑ ↗
← S 32.782656°
W 56.579590°		 ← 256.73 m → S 32.782656°
W 56.576844°		 →
↑
256.75 m
↓
↑
256.75 m
↓
S 32.784965°
W 56.579590°		 ← 256.72 m →
65 914 m²		 S 32.784965°
W 56.576844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342838287353516 y=0.596485137939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342838287353516 × 217)
    floor (0.342838287353516 × 131072)
    floor (44936.5)     		tx = 44936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596485137939453 × 217)
    floor (0.596485137939453 × 131072)
    floor (78182.5)     		ty = 78182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44936 / 78182 ti = "17/44936/78182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44936/78182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44936 ÷ 217
    44936 ÷ 131072     		x = 0.34283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78182 ÷ 217
    78182 ÷ 131072     		y = 0.596481323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.3143310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98750013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596481323242188 × 2 - 1) × π
    -0.192962646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.60621003259523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98750013} λ = -0.98750013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.60621003259523))-π/2
    2×atan(0.545414058398177)-π/2
    2×0.499315517748917-π/2
    0.998631035497834-1.57079632675     		φ = -0.57216529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98750013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.579590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57216529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.782656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44936 KachelY 78182 -0.98750013 -0.57216529 -56.579590 -32.782656
    Oben rechts KachelX + 1 44937 KachelY 78182 -0.98745220 -0.57216529 -56.576844 -32.782656
    Unten links KachelX 44936 KachelY + 1 78183 -0.98750013 -0.57220559 -56.579590 -32.784965
    Unten rechts KachelX + 1 44937 KachelY + 1 78183 -0.98745220 -0.57220559 -56.576844 -32.784965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57216529--0.57220559) × R
    4.02999999999931e-05 × 6371000     		dl = 256.751299999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57216529--0.57220559) × R
    4.02999999999931e-05 × 6371000     		dr = 256.751299999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98750013--0.98745220) × cos(-0.57216529) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.840730542579015 × 6371000     		do = 256.727185165086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98750013--0.98745220) × cos(-0.57220559) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.840708721310505 × 6371000     		du = 256.720521778237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57216529)-sin(-0.57220559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.840730542579015-0.840708721310505)×R²
    abs(-0.98745220--0.98750013)×2.18212685094699e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.18212685094699e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.18212685094699e-05×40589641000000     		ar = 65914.1831287903m²