Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44932 / 78140
↖ ↑ ↗
← S 32.685620°
W 56.590576°		 ← 257.06 m → S 32.685620°
W 56.587829°		 →
↑
257.07 m
↓
↑
257.07 m
↓
S 32.687931°
W 56.590576°		 ← 257.05 m →
66 082 m²		 S 32.687931°
W 56.587829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342807769775391 y=0.596164703369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342807769775391 × 217)
    floor (0.342807769775391 × 131072)
    floor (44932.5)     		tx = 44932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596164703369141 × 217)
    floor (0.596164703369141 × 131072)
    floor (78140.5)     		ty = 78140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44932 / 78140 ti = "17/44932/78140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44932/78140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44932 ÷ 217
    44932 ÷ 131072     		x = 0.342803955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78140 ÷ 217
    78140 ÷ 131072     		y = 0.596160888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342803955078125 × 2 - 1) × π
    -0.31439208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98769188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596160888671875 × 2 - 1) × π
    -0.19232177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.604196682811188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98769188} λ = -0.98769188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.604196682811188))-π/2
    2×atan(0.546513273856156)-π/2
    2×0.500162321153378-π/2
    1.00032464230676-1.57079632675     		φ = -0.57047168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98769188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.590576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57047168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.685620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44932 KachelY 78140 -0.98769188 -0.57047168 -56.590576 -32.685620
    Oben rechts KachelX + 1 44933 KachelY 78140 -0.98764394 -0.57047168 -56.587829 -32.685620
    Unten links KachelX 44932 KachelY + 1 78141 -0.98769188 -0.57051203 -56.590576 -32.687931
    Unten rechts KachelX + 1 44933 KachelY + 1 78141 -0.98764394 -0.57051203 -56.587829 -32.687931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57047168--0.57051203) × R
    4.03499999999113e-05 × 6371000     		dl = 257.069849999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57047168--0.57051203) × R
    4.03499999999113e-05 × 6371000     		dr = 257.069849999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98769188--0.98764394) × cos(-0.57047168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841646347873046 × 6371000     		do = 257.060458617254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98769188--0.98764394) × cos(-0.57051203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841624557013855 × 6371000     		du = 257.05380312796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57047168)-sin(-0.57051203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841646347873046-0.841624557013855)×R²
    abs(-0.98764394--0.98769188)×2.17908591911842e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17908591911842e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17908591911842e-05×40589641000000     		ar = 66081.6380836022m²