Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44930 / 94781
↖ ↑ ↗
← S 62.345785°
W 56.596069°		 ← 141.73 m → S 62.345785°
W 56.593323°		 →
↑
141.69 m
↓
↑
141.69 m
↓
S 62.347060°
W 56.596069°		 ← 141.72 m →
20 081 m²		 S 62.347060°
W 56.593323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342792510986328 y=0.723125457763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342792510986328 × 217)
    floor (0.342792510986328 × 131072)
    floor (44930.5)     		tx = 44930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723125457763672 × 217)
    floor (0.723125457763672 × 131072)
    floor (94781.5)     		ty = 94781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44930 / 94781 ti = "17/44930/94781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44930/94781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44930 ÷ 217
    44930 ÷ 131072     		x = 0.342788696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94781 ÷ 217
    94781 ÷ 131072     		y = 0.723121643066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342788696289062 × 2 - 1) × π
    -0.314422607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98778775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723121643066406 × 2 - 1) × π
    -0.446243286132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.40191462938854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98778775} λ = -0.98778775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40191462938854))-π/2
    2×atan(0.246125273847271)-π/2
    2×0.241328550429056-π/2
    0.482657100858112-1.57079632675     		φ = -1.08813923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98778775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.596069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08813923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.345785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44930 KachelY 94781 -0.98778775 -1.08813923 -56.596069 -62.345785
    Oben rechts KachelX + 1 44931 KachelY 94781 -0.98773982 -1.08813923 -56.593323 -62.345785
    Unten links KachelX 44930 KachelY + 1 94782 -0.98778775 -1.08816147 -56.596069 -62.347060
    Unten rechts KachelX + 1 44931 KachelY + 1 94782 -0.98773982 -1.08816147 -56.593323 -62.347060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08813923--1.08816147) × R
    2.22400000000622e-05 × 6371000     		dl = 141.691040000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08813923--1.08816147) × R
    2.22400000000622e-05 × 6371000     		dr = 141.691040000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98778775--0.98773982) × cos(-1.08813923) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.464134374017369 × 6371000     		do = 141.729014642481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98778775--0.98773982) × cos(-1.08816147) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.464114674493409 × 6371000     		du = 141.722999155855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08813923)-sin(-1.08816147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464134374017369-0.464114674493409)×R²
    abs(-0.98773982--0.98778775)×1.96995239593045e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.96995239593045e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.96995239593045e-05×40589641000000     		ar = 20081.3053134286m²