Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44930 / 78141
↖ ↑ ↗
← S 32.687931°
W 56.596069°		 ← 257 m → S 32.687931°
W 56.593323°		 →
↑
257.01 m
↓
↑
257.01 m
↓
S 32.690243°
W 56.596069°		 ← 256.99 m →
66 050 m²		 S 32.690243°
W 56.593323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342792510986328 y=0.596172332763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342792510986328 × 217)
    floor (0.342792510986328 × 131072)
    floor (44930.5)     		tx = 44930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596172332763672 × 217)
    floor (0.596172332763672 × 131072)
    floor (78141.5)     		ty = 78141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44930 / 78141 ti = "17/44930/78141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44930/78141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44930 ÷ 217
    44930 ÷ 131072     		x = 0.342788696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78141 ÷ 217
    78141 ÷ 131072     		y = 0.596168518066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342788696289062 × 2 - 1) × π
    -0.314422607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98778775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596168518066406 × 2 - 1) × π
    -0.192337036132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.604244619710808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98778775} λ = -0.98778775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.604244619710808))-π/2
    2×atan(0.546487076332126)-π/2
    2×0.500142148456304-π/2
    1.00028429691261-1.57079632675     		φ = -0.57051203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98778775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.596069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57051203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.687931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44930 KachelY 78141 -0.98778775 -0.57051203 -56.596069 -32.687931
    Oben rechts KachelX + 1 44931 KachelY 78141 -0.98773982 -0.57051203 -56.593323 -32.687931
    Unten links KachelX 44930 KachelY + 1 78142 -0.98778775 -0.57055237 -56.596069 -32.690243
    Unten rechts KachelX + 1 44931 KachelY + 1 78142 -0.98773982 -0.57055237 -56.593323 -32.690243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57051203--0.57055237) × R
    4.03400000000831e-05 × 6371000     		dl = 257.006140000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57051203--0.57055237) × R
    4.03400000000831e-05 × 6371000     		dr = 257.006140000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98778775--0.98773982) × cos(-0.57051203) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.841624557013855 × 6371000     		do = 257.000183227163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98778775--0.98773982) × cos(-0.57055237) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.841602770185366 × 6371000     		du = 256.993530356989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57051203)-sin(-0.57055237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841624557013855-0.841602770185366)×R²
    abs(-0.98773982--0.98778775)×2.17868284890788e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.17868284890788e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.17868284890788e-05×40589641000000     		ar = 66049.7701653837m²