Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4493 / 13104
↖ ↑ ↗
← S 72.711903°
W 81.276855°		 ← 726.07 m → S 72.711903°
W 81.254883°		 →
↑
725.98 m
↓
↑
725.98 m
↓
S 72.718432°
W 81.276855°		 ← 725.80 m →
527 010 m²		 S 72.718432°
W 81.254883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274261474609375 y=0.799835205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274261474609375 × 214)
    floor (0.274261474609375 × 16384)
    floor (4493.5)     		tx = 4493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799835205078125 × 214)
    floor (0.799835205078125 × 16384)
    floor (13104.5)     		ty = 13104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4493 / 13104 ti = "14/4493/13104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4493/13104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4493 ÷ 214
    4493 ÷ 16384     		x = 0.27423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13104 ÷ 214
    13104 ÷ 16384     		y = 0.7998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.4515380859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41854873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7998046875 × 2 - 1) × π
    -0.599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.88372840746973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41854873} λ = -1.41854873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88372840746973))-π/2
    2×atan(0.152022246929139)-π/2
    2×0.15086710609228-π/2
    0.30173421218456-1.57079632675     		φ = -1.26906211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41854873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.276855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26906211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.711903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4493 KachelY 13104 -1.41854873 -1.26906211 -81.276855 -72.711903
    Oben rechts KachelX + 1 4494 KachelY 13104 -1.41816524 -1.26906211 -81.254883 -72.711903
    Unten links KachelX 4493 KachelY + 1 13105 -1.41854873 -1.26917606 -81.276855 -72.718432
    Unten rechts KachelX + 1 4494 KachelY + 1 13105 -1.41816524 -1.26917606 -81.254883 -72.718432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26906211--1.26917606) × R
    0.000113950000000029 × 6371000     		dl = 725.975450000187m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26906211--1.26917606) × R
    0.000113950000000029 × 6371000     		dr = 725.975450000187m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41854873--1.41816524) × cos(-1.26906211) × R
    0.000383489999999931 × 0.29717652202554 × 6371000     		do = 726.066073853429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41854873--1.41816524) × cos(-1.26917606) × R
    0.000383489999999931 × 0.297067718066082 × 6371000     		du = 725.80024241047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26906211)-sin(-1.26917606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29717652202554-0.297067718066082)×R²
    abs(-1.41816524--1.41854873)×0.000108803959458448×R²
    0.000383489999999931×0.000108803959458448×6371000²
    0.000383489999999931×0.000108803959458448×40589641000000     		ar = 527009.651713549m²