Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4493 / 13061
↖ ↑ ↗
← S 72.428902°
W 81.276855°		 ← 737.58 m → S 72.428902°
W 81.254883°		 →
↑
737.44 m
↓
↑
737.44 m
↓
S 72.435534°
W 81.276855°		 ← 737.31 m →
543 824 m²		 S 72.435534°
W 81.254883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274261474609375 y=0.797210693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274261474609375 × 214)
    floor (0.274261474609375 × 16384)
    floor (4493.5)     		tx = 4493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.797210693359375 × 214)
    floor (0.797210693359375 × 16384)
    floor (13061.5)     		ty = 13061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4493 / 13061 ti = "14/4493/13061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4493/13061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4493 ÷ 214
    4493 ÷ 16384     		x = 0.27423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13061 ÷ 214
    13061 ÷ 16384     		y = 0.79718017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.4515380859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41854873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79718017578125 × 2 - 1) × π
    -0.5943603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.86723811400043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41854873} λ = -1.41854873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86723811400043))-π/2
    2×atan(0.154549922169194)-π/2
    2×0.153336751802212-π/2
    0.306673503604425-1.57079632675     		φ = -1.26412282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41854873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.276855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26412282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.428902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4493 KachelY 13061 -1.41854873 -1.26412282 -81.276855 -72.428902
    Oben rechts KachelX + 1 4494 KachelY 13061 -1.41816524 -1.26412282 -81.254883 -72.428902
    Unten links KachelX 4493 KachelY + 1 13062 -1.41854873 -1.26423857 -81.276855 -72.435534
    Unten rechts KachelX + 1 4494 KachelY + 1 13062 -1.41816524 -1.26423857 -81.254883 -72.435534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26412282--1.26423857) × R
    0.00011574999999997 × 6371000     		dl = 737.443249999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26412282--1.26423857) × R
    0.00011574999999997 × 6371000     		dr = 737.443249999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41854873--1.41816524) × cos(-1.26412282) × R
    0.000383489999999931 × 0.301889023316395 × 6371000     		do = 737.579726705139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41854873--1.41816524) × cos(-1.26423857) × R
    0.000383489999999931 × 0.30177867183341 × 6371000     		du = 737.310114329812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26412282)-sin(-1.26423857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301889023316395-0.30177867183341)×R²
    abs(-1.41816524--1.41854873)×0.000110351482985105×R²
    0.000383489999999931×0.000110351482985105×6371000²
    0.000383489999999931×0.000110351482985105×40589641000000     		ar = 543823.779488267m²