Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4493 / 13054
↖ ↑ ↗
← S 72.382410°
W 81.276855°		 ← 739.47 m → S 72.382410°
W 81.254883°		 →
↑
739.35 m
↓
↑
739.35 m
↓
S 72.389059°
W 81.276855°		 ← 739.20 m →
546 630 m²		 S 72.389059°
W 81.254883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274261474609375 y=0.796783447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274261474609375 × 214)
    floor (0.274261474609375 × 16384)
    floor (4493.5)     		tx = 4493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796783447265625 × 214)
    floor (0.796783447265625 × 16384)
    floor (13054.5)     		ty = 13054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4493 / 13054 ti = "14/4493/13054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4493/13054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4493 ÷ 214
    4493 ÷ 16384     		x = 0.27423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13054 ÷ 214
    13054 ÷ 16384     		y = 0.7967529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27423095703125 × 2 - 1) × π
    -0.4515380859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.41854873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7967529296875 × 2 - 1) × π
    -0.593505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.8645536476217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41854873} λ = -1.41854873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8645536476217))-π/2
    2×atan(0.154965363608895)-π/2
    2×0.15374247616728-π/2
    0.307484952334559-1.57079632675     		φ = -1.26331137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41854873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.276855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26331137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.382410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4493 KachelY 13054 -1.41854873 -1.26331137 -81.276855 -72.382410
    Oben rechts KachelX + 1 4494 KachelY 13054 -1.41816524 -1.26331137 -81.254883 -72.382410
    Unten links KachelX 4493 KachelY + 1 13055 -1.41854873 -1.26342742 -81.276855 -72.389059
    Unten rechts KachelX + 1 4494 KachelY + 1 13055 -1.41816524 -1.26342742 -81.254883 -72.389059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26331137--1.26342742) × R
    0.000116049999999923 × 6371000     		dl = 739.35454999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26331137--1.26342742) × R
    0.000116049999999923 × 6371000     		dr = 739.35454999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41854873--1.41816524) × cos(-1.26331137) × R
    0.000383489999999931 × 0.302662514079688 × 6371000     		do = 739.469530777943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41854873--1.41816524) × cos(-1.26342742) × R
    0.000383489999999931 × 0.302551905043017 × 6371000     		du = 739.19928914364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26331137)-sin(-1.26342742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.302662514079688-0.302551905043017)×R²
    abs(-1.41816524--1.41854873)×0.000110609036671094×R²
    0.000383489999999931×0.000110609036671094×6371000²
    0.000383489999999931×0.000110609036671094×40589641000000     		ar = 546630.260590099m²