Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44923 / 94794
↖ ↑ ↗
← S 62.362353°
W 56.615295°		 ← 141.68 m → S 62.362353°
W 56.612549°		 →
↑
141.63 m
↓
↑
141.63 m
↓
S 62.363627°
W 56.615295°		 ← 141.67 m →
20 065 m²		 S 62.363627°
W 56.612549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342739105224609 y=0.723224639892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342739105224609 × 217)
    floor (0.342739105224609 × 131072)
    floor (44923.5)     		tx = 44923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723224639892578 × 217)
    floor (0.723224639892578 × 131072)
    floor (94794.5)     		ty = 94794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44923 / 94794 ti = "17/44923/94794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44923/94794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44923 ÷ 217
    44923 ÷ 131072     		x = 0.342735290527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94794 ÷ 217
    94794 ÷ 131072     		y = 0.723220825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342735290527344 × 2 - 1) × π
    -0.314529418945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.98812331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723220825195312 × 2 - 1) × π
    -0.446441650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4025378090836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98812331} λ = -0.98812331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4025378090836))-π/2
    2×atan(0.245971941355978)-π/2
    2×0.241183970778095-π/2
    0.482367941556189-1.57079632675     		φ = -1.08842839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98812331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.615295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08842839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.362353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44923 KachelY 94794 -0.98812331 -1.08842839 -56.615295 -62.362353
    Oben rechts KachelX + 1 44924 KachelY 94794 -0.98807537 -1.08842839 -56.612549 -62.362353
    Unten links KachelX 44923 KachelY + 1 94795 -0.98812331 -1.08845062 -56.615295 -62.363627
    Unten rechts KachelX + 1 44924 KachelY + 1 94795 -0.98807537 -1.08845062 -56.612549 -62.363627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08842839--1.08845062) × R
    2.22299999999009e-05 × 6371000     		dl = 141.627329999369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08842839--1.08845062) × R
    2.22299999999009e-05 × 6371000     		dr = 141.627329999369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98812331--0.98807537) × cos(-1.08842839) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463878226867103 × 6371000     		do = 141.68035071068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98812331--0.98807537) × cos(-1.08845062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.463858533218313 × 6371000     		du = 141.674335763425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08842839)-sin(-1.08845062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463878226867103-0.463858533218313)×R²
    abs(-0.98807537--0.98812331)×1.96936487895649e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.96936487895649e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.96936487895649e-05×40589641000000     		ar = 20065.3838448868m²