Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44922 / 78142
↖ ↑ ↗
← S 32.690243°
W 56.618042°		 ← 257.05 m → S 32.690243°
W 56.615295°		 →
↑
257.07 m
↓
↑
257.07 m
↓
S 32.692555°
W 56.618042°		 ← 257.04 m →
66 078 m²		 S 32.692555°
W 56.615295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342731475830078 y=0.596179962158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342731475830078 × 217)
    floor (0.342731475830078 × 131072)
    floor (44922.5)     		tx = 44922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596179962158203 × 217)
    floor (0.596179962158203 × 131072)
    floor (78142.5)     		ty = 78142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44922 / 78142 ti = "17/44922/78142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44922/78142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44922 ÷ 217
    44922 ÷ 131072     		x = 0.342727661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78142 ÷ 217
    78142 ÷ 131072     		y = 0.596176147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342727661132812 × 2 - 1) × π
    -0.314544677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98817125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596176147460938 × 2 - 1) × π
    -0.192352294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.604292556610428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98817125} λ = -0.98817125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.604292556610428))-π/2
    2×atan(0.546460880063893)-π/2
    2×0.500121976281473-π/2
    1.00024395256295-1.57079632675     		φ = -0.57055237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98817125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.618042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57055237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.690243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44922 KachelY 78142 -0.98817125 -0.57055237 -56.618042 -32.690243
    Oben rechts KachelX + 1 44923 KachelY 78142 -0.98812331 -0.57055237 -56.615295 -32.690243
    Unten links KachelX 44922 KachelY + 1 78143 -0.98817125 -0.57059272 -56.618042 -32.692555
    Unten rechts KachelX + 1 44923 KachelY + 1 78143 -0.98812331 -0.57059272 -56.615295 -32.692555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57055237--0.57059272) × R
    4.03500000000223e-05 × 6371000     		dl = 257.069850000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57055237--0.57059272) × R
    4.03500000000223e-05 × 6371000     		dr = 257.069850000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98817125--0.98812331) × cos(-0.57055237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841602770185366 × 6371000     		do = 257.047148869747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98817125--0.98812331) × cos(-0.57059272) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841580976586014 × 6371000     		du = 257.040492543537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57055237)-sin(-0.57059272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841602770185366-0.841580976586014)×R²
    abs(-0.98812331--0.98817125)×2.17935993519491e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.17935993519491e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.17935993519491e-05×40589641000000     		ar = 66078.2164414724m²