Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 44921 / 95101
↖ ↑ ↗
← S 62.750954°
W 56.620789°		 ← 139.84 m → S 62.750954°
W 56.618042°		 →
↑
139.84 m
↓
↑
139.84 m
↓
S 62.752211°
W 56.620789°		 ← 139.84 m →
19 556 m²		 S 62.752211°
W 56.618042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342723846435547 y=0.725566864013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342723846435547 × 217)
    floor (0.342723846435547 × 131072)
    floor (44921.5)     		tx = 44921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725566864013672 × 217)
    floor (0.725566864013672 × 131072)
    floor (95101.5)     		ty = 95101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 44921 / 95101 ti = "17/44921/95101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/44921/95101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44921 ÷ 217
    44921 ÷ 131072     		x = 0.342720031738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95101 ÷ 217
    95101 ÷ 131072     		y = 0.725563049316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.342720031738281 × 2 - 1) × π
    -0.314559936523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.98821919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725563049316406 × 2 - 1) × π
    -0.451126098632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.41725443726696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98821919} λ = -0.98821919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41725443726696))-π/2
    2×atan(0.242378569762216)-π/2
    2×0.237792789513778-π/2
    0.475585579027556-1.57079632675     		φ = -1.09521075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98821919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.620789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09521075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.750954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44921 KachelY 95101 -0.98821919 -1.09521075 -56.620789 -62.750954
    Oben rechts KachelX + 1 44922 KachelY 95101 -0.98817125 -1.09521075 -56.618042 -62.750954
    Unten links KachelX 44921 KachelY + 1 95102 -0.98821919 -1.09523270 -56.620789 -62.752211
    Unten rechts KachelX + 1 44922 KachelY + 1 95102 -0.98817125 -1.09523270 -56.618042 -62.752211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09521075--1.09523270) × R
    2.19500000000483e-05 × 6371000     		dl = 139.843450000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09521075--1.09523270) × R
    2.19500000000483e-05 × 6371000     		dr = 139.843450000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98821919--0.98817125) × cos(-1.09521075) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.457859117920131 × 6371000     		do = 139.841959906736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98821919--0.98817125) × cos(-1.09523270) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.4578396037163 × 6371000     		du = 139.83599976659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09521075)-sin(-1.09523270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457859117920131-0.4578396037163)×R²
    abs(-0.98817125--0.98821919)×1.9514203831672e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.9514203831672e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.9514203831672e-05×40589641000000     		ar = 19555.5653857201m²