Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4492 / 13105
↖ ↑ ↗
← S 72.718432°
W 81.298828°		 ← 725.82 m → S 72.718432°
W 81.276855°		 →
↑
725.66 m
↓
↑
725.66 m
↓
S 72.724958°
W 81.298828°		 ← 725.55 m →
526 599 m²		 S 72.724958°
W 81.276855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274200439453125 y=0.799896240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274200439453125 × 214)
    floor (0.274200439453125 × 16384)
    floor (4492.5)     		tx = 4492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.799896240234375 × 214)
    floor (0.799896240234375 × 16384)
    floor (13105.5)     		ty = 13105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4492 / 13105 ti = "14/4492/13105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4492/13105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4492 ÷ 214
    4492 ÷ 16384     		x = 0.274169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13105 ÷ 214
    13105 ÷ 16384     		y = 0.79986572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.274169921875 × 2 - 1) × π
    -0.45166015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41893223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79986572265625 × 2 - 1) × π
    -0.5997314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.88411190266669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41893223} λ = -1.41893223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88411190266669))-π/2
    2×atan(0.151963958305029)-π/2
    2×0.150810133640258-π/2
    0.301620267280516-1.57079632675     		φ = -1.26917606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41893223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.298828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26917606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.718432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4492 KachelY 13105 -1.41893223 -1.26917606 -81.298828 -72.718432
    Oben rechts KachelX + 1 4493 KachelY 13105 -1.41854873 -1.26917606 -81.276855 -72.718432
    Unten links KachelX 4492 KachelY + 1 13106 -1.41893223 -1.26928996 -81.298828 -72.724958
    Unten rechts KachelX + 1 4493 KachelY + 1 13106 -1.41854873 -1.26928996 -81.276855 -72.724958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26917606--1.26928996) × R
    0.000113900000000111 × 6371000     		dl = 725.656900000708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26917606--1.26928996) × R
    0.000113900000000111 × 6371000     		dr = 725.656900000708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41893223--1.41854873) × cos(-1.26917606) × R
    0.000383500000000092 × 0.297067718066082 × 6371000     		do = 725.819168595093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41893223--1.41854873) × cos(-1.26928996) × R
    0.000383500000000092 × 0.296958957993829 × 6371000     		du = 725.553437448901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26917606)-sin(-1.26928996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.297067718066082-0.296958957993829)×R²
    abs(-1.41854873--1.41893223)×0.000108760072252245×R²
    0.000383500000000092×0.000108760072252245×6371000²
    0.000383500000000092×0.000108760072252245×40589641000000     		ar = 526599.273594082m²